Limites -Matematica I

Limites
No se si esta definición se entiende muxo…si encuentran una mas fácil de entender…mejor!xq se tiene q poner tmb q nose toma el valor de “c”…y nose como ponerlo 
Definición:
Si una función “y = f(x)” se hace próxima a un numero “L”, cuando “x” se aproxima a “c” (tanto para valores menores como mayores), decimos que el limite de “f(x)” cuando “x” se aproxima a “c” es “L”.
Se denotapor:
Lim f(x) = L
x->c


Cuando tomamos valores menores que “c”, decimos que estamos calculando el limite por la izquierda y se representa por:

Lim f(x)
x->c-

límite lateral izquierdo


Cuando tomamos valores mayores que “c” , decimos que estamos calculando el limite por la derecha y se representa por:

Lim f(x)
x->c+

límite lateral derecho

De acuerdo a estasafirmaciones, para que un límite exista, se debe cumplir que los límites laterales sean iguales:

Lim f(x) = Lim (x)
x->c- x->c+


Limites laterales



EJEMPLO
Para la función “y = 3x – 2”, vamos a ver cuales son los valores que toma la función conforme “x” toma valores, tanto mayores como menores, cercanos a “x=2”.

Así tenemos: Lim (3x-2)=L
x->2Construiremos una tabla para ver los valores que toma la función, cuando “x” tiende a 2, y así poder hallar el límite de la función.

x->2- x->2+
x
1,7
1,8
1,9
2,001
2,01
2,1
y
3,1
3,4
3,7
4,003
4,03
4,3

Como podemos observar, conforme nos acercamos a “x=2”, el valor de la función se acerca a “y=4”, por lo tanto podemos decir que el limite de la función es 4, y queda expresado de lasiguiente manera:
Lim (3x-2)=4
x->2

Propiedades:

1) Si “f(x)=a” es una función constante, entonces:
Lim f(x) = a
x->c

2) Si “f(x)=x” (función identidad), entonces:
Lim f(x) = c
x->c

3) Lim [f(x) + g(x)] = (lim f(x)) + (lim g(x))
x->c x->c x->c

4) Lim [f(x) . g(x)] = (lim f(x)) . (lim g(x))
x->c x->c x->c

lim f(x)
5) Lim f(x) =x->c___ si lim g(x) = 0
x->c g(x) lim g(x) x->c
x->c

6) Lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n
x->c x->c

7) Lim = si “n” es par debe cumplirse que lim f(x) ≥0
x->c x->c x->c



TÉCNICAS PARA CALCULAR LÍMITES
Para poder calcular los límites de una función, existen 3 técnicas

1) TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN DIRECTA
Consiste en reemplazar el valor “c” alque tiende “x” en la función “f(x)”
Ejemplo:
Lim (x2 +2) = lim (32 +2) = 11
x->3 x->3

2) TÉCNICA DE FACTORIZACIÓN O CANCELACIÓN
Si al usar la técnica de sustitución directa obtenemos un resultado igual a 0 (indeterminado), entonces debemos usar esta técnica, que consiste en factorizar los términos comunes posibles para obtener un resultado determinado.
Ejemplo:
Lim_x-2_ =
x->2 x2 -4

Si resolvemos este ejercicio con la técnica de sustitución directa, veremos que el resultado es 0, es decir, indeterminado, por lo que debemos usar esta nueva técnica factorizando y eliminando el factor común:

Lim _x-2 = lim __x-2___ = _1_
x->2 x2-4 x->2 (x-2) (x+2) x+2


finalmente el limite puede ser resuelto porlim _1_ = _1_ = 1
sustitución directa x->2 x+2 (2)+2 4

3) TÉCNICA DE RACIONALIZACIÓN
Cuando se nos presenta un limite en el que aparecen radicales, no es posible resolverlo por el método de factorización de manera directa, primero debemos racionalizarlo.
Ejemplo:

Lim – 1
x->0 x

si resolvemos este ejercicio porsustitución directa, obtendremos un resultado indeterminado, por lo tanto debemos racionalizar multiplicando tanto el numerador y denominador por su conjugada:

Lim – 1 = lim -1 +1
x->0 x x->0 x +1

=lim __x+1-1____ = lim ____x_____ = lim ___1___
x->0 x(+1) x->0 x( +1) x->0 +1


ahora que ya lo racionalizamos, lim...