Limites Resumen

C.E.A. San Francisco

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Límite

lim f ( x ) se lee: límite de la función f(x) cuando x tiende a k

x→k

Idea intuitiva del significado

Representación gráfica

Cuando x→ +∞
lim f ( x ) = l

Al aumentar x, los valores de f(x) se van acercando al
valor l.
(el límite de f(x) es finito)

lim f ( x ) = +∞

Alaumentar x, los valores de f(x) crecen cada vez más.

lim f ( x ) = −∞

Al aumentar x, los valores de f(x) son cada vez “más
negativos”.

x → +∞

x → +∞

x → +∞

Ejemplo con l = - 1

Ejemplo con l = 0

Ejemplo con l = 0

Ejemplo con l = 1

Cuando x→ - ∞
lim f ( x ) = +∞

Al tomar x valores negativos pero cada vez más
grandes en valor absoluto, los valores de f(x) crecen
cada vez más.

lim f ( x ) =−∞

Al tomar x valores negativos pero cada vez más
grandes en valor absoluto, los valores de f(x) son cada
vez “más negativos”.

lim f ( x ) = l

Al tomar x valores negativos pero cada vez más
grandes en valor absoluto, los valores de f(x) se van
acercando al valor l.
(el límite de f(x) es finito)

x → −∞

x → −∞

x → −∞

Cuando x→ a
Por la derecha de a: x→ a+
lim+ f ( x ) = +∞ : Al ir tomando xvalores cercanos pero
x →a

mayores que “a”, la función va hacia +∞
lim f ( x ) = ∞

x →a

Estudiamos los
LÍMITES
LATERALES

lim+ f ( x ) = −∞ : Al ir tomando x valores cercanos pero

x →a

En este ejemplo:
Cuando x→ 0+, f(x)→ -∞
–
Cuando x→ 0 , f(x)→ +∞
Cuando x→ 2+, f(x)→ +∞
–
Cuando x→ 2 , f(x)→ -∞

mayores que “a”, la función va hacia -∞
Por la izquierda de a: x→ a–
lim− f ( x ) = +∞ : Al ir tomandox valores cercanos pero
x →a

menores que “a”, la función va hacia +∞
lim f ( x ) = −∞ : Al ir tomando x valores cercanos pero

x →a −

menores que “a”, la función va hacia -∞
Ejemplo con a = 3 y l =

lim f ( x ) = l

x →a

Al ir tomando x valores cercanos a “a”, los valores
correspondientes de f(x) se van acercando al valor l.
(el límite de f(x) es finito)

Límites de funciones - pág. 1

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3C.E.A. San Francisco

Ejemplo 1.:
a)

x 2 + 4 x − 45
x →5
2x − 10
lim

Veamos hacia dónde se acerca la función f ( x ) =

x 2 + 4 x − 45
, cuando x tiende a 5, creando una tabla de
2x − 10

valores cercanos a 5:
x
f(x)

4,99
6,995

4,999
6,9995

4,9999
6,99995

f ( 4,99) =

5,0001
7,00005

5,000001
7,0000005

5,00000001
6,99999991

4,99 2 + 4 ⋅ 4,99 − 45
= 6,995
2 ⋅ 4,99 − 10

Se puede observar quelos valores de la función se acercan a 7, por tanto, lim f ( x ) = 7
x →5

b)

Elabora una tabla como en el ejemplo anterior para comprobar el límite siguiente:
x 2 + 6 x − 27
lim
=6
x →3
2x − 6

OBSERVACIÓN: Una función f(x) tiene límite en un punto “a” si y sólo si existen los límites laterales y coinciden;
siendo dicho valor el límite de la función. Si alguno de los límites laterales no existeo no coinciden, entonces la
función no tiene límite en ese punto “a”.
Ejemplo 2.:
a)

x2 + 1
x2 + 1
lim−
= +∞
= −∞
x →2 x − 2
x →2 x − 2
La función no tiene límite cuando x tiende a 2
lim+

x ≤ −2
⎧3
⎪
b) f ( x ) = ⎨− x + 1 − 2 < x ≤ 3
⎪2
x>3
⎩

f(x) = 3

f(x) = 2
4
3
2

Aunque puede deducirse observando su
gráfica, veamos qué ocurre en los puntos de
cambio de expresión de esta función definidaa
trozos:

1
0
-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1 0

1

2

3

4

5

6

-2
-3

f(x) = – x + 1

Cuando x → -2
lim f ( x ) = lim + ( − x + 1) = 3⎫
⎪
x → −2
⇒ lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = 3 ⇒ lim f ( x ) = 3
lim − f ( x ) = lim − 3 = 3 ⎬
x → −2
x → −2
x → −2
⎪
x → −2
x → −2
⎭

x → −2 +

Cuando x → 3
lim f ( x ) = lim+ 2 = 2

⎫⎪
⇒ Los límites laterales no coinciden ⇒ ∃/ lim f ( x )
lim f ( x ) = lim− ( − x +1) = −2⎬
x→3
⎪⎭
x →3 −
x →3
x →3 +

x →3

Límites de funciones - pág. 2

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C.E.A. San Francisco

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS:
Las propiedades que aparecen a continuación vienen expresadas para x tendiendo a infinito pero son válidas para
x tendiendo a un valor cualquiera.
1.

lim k = k

x → +∞

Si lim f ( x ) = l y lim g( x ) = m , entonces:
x → +∞

2.
3.
4.

x → +∞

lim...