Limites y continuidad varias variables

Límites y continuidad

Definiciones
Definici´n 8.1.1. Sean U ⊆ Rn , a ∈ U y f : U → R una funci´n. Diremos que el n´mero
o
o
u
real L es el l´
ımite de f (x) cuando x tiende a a si:
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 0 < x − a

Rn

< δ =⇒ |f (x) − L| < ε

(8.1)

Lo anterior se representa mediante el s´
ımbolo:
l´ f (x) = L
ım

x→a

o
ı
Observaci´n 8.1.1. En particular, si f : U ⊆ R2 → R y(a, b) ∈ U , la definici´n de l´mite
o
en (8.1) queda como:
(x − a)2 + (y − b)2 < δ =⇒ |f (x, y) − L| < ε

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 0 <
y en s´
ımbolos:

l´
ım

f (x, y) = L

(x,y)→(a,b)

Usualmente, a los l´
ımites del tipo anterior, se les conoce como l´
ımites dobles.
Ejemplo 8.1.1. Demuestre que:
l´
ım
(x,y)→(2,−1)

(3x + 2y) = 4

Soluci´n. Por demostrar que, dado cualquier ε> 0, existe δ > 0 tal que si:
o
0<

(x − 2)2 + (y + 1)2 < δ

implica que:
|3x + 2y − 4| < ε
En efecto, note que:
|3x + 2y − 4| = |3 (x − 2) + 2 (y + 1)|
≤ 3 |x − 2| + 2 |y + 1|
< 3δ + 2δ = 5δ
Por tanto, dado ε > 0, existe δ = ε/5 tal que si 0 <

(x − 2)2 + (y + 1)2 < δ, entonces

|3x + 2y − 4| < ε. Por tanto, se concluye que l´ (x,y)→(2,−1) (3x + 2y) = 2.
ım

Ejemplo 8.1.2.Demuestre que:
x2 cos (x2 + y 2 )

l´
ım

x2 + y 2

(x,y)→(0,0)

=0

Soluci´n. Note que si (x, y) = (0, 0)
o
x2 cos (x2 + y 2 )
x2

+

y2

−0

|x|2

=

x2

y2

+
|x| |x|

≤

x2 + y 2
x2 + y 2

≤

x2 + y2 = δ

por lo tanto, dado ε > 0 existe δ = ε tal que si 0 <
x2 + y 2

x2 + y 2

x2 + y 2

=

x2 cos (x2 + y 2 )

cos x2 + y 2

(x − 0)2 + (y −0)2 < δ entonces

− 0 < ε.

o
ımite es un concepto que
Observaci´n 8.1.2. Es importante destacar que la noci´n de l´
o
puede tratarse de manera m´s general que en el caso de funciones reales de varias variables.
a
En particular, el concepto de l´mite se puede extender a funciones vectoriales considerando
ı
la norma correspondiente al espacio de llegada. M´s precisamente, tenemos:
a
oDefinici´n 8.1.2. Sean U ⊆ Rn , a ∈ U y F : U → Rm una funci´n vectorial. Diremos
o
que el vector L ∈ Rm es el l´
ımite de F (x) cuando x tiende a a si:
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 0 < x − a

Rn

< δ =⇒ F (x) − L

Rm

0
z 0 =⇒

a
b+c

≤

a
b

Teorema 8.2.2. Sean f, g, h : U ⊆ Rn → R y a ∈ U tales que:
f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) ,

∀x ∈ U

Suponga que l´ x→a f (x) = l´ x→a h (x) = L,entonces:
ım
ım
l´ g (x) = L
ım

x→a

Ejemplo 8.2.3. V
erifique si el siguiente lí mite existe o no existe
sin2 y
(x,y)→(0,0) x2 + |y|
l´
ım

Ejemplo 8.2.4. V
erifique s i el lí mite siguiente existe o no existe
x sin3 y
l´
ım
(x,y)→(0,0) |x| + y 2

Continuidad
Definici´n 8.3.1. Sean U ⊆ Rn , a ∈ U ∩ U y f : U → R una funci´n real de varias
o
o
variables. Diremos que f escontinua en a si:
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, x − a

Rn

< δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε

(8.2)

Adem´s, diremos que f es continua en U si f es continua en cada punto de U .
a
Observaci´n 8.3.1. Note que la definici´n dada anteriormente y por la proposici´n en
o
o
o
(8.2) , dice que f es continua en a si:
l´ f (x) = f (a)
ım

x→a

Definici´n 8.3.2. Diremos que f : U ⊆ Rn → R es discontinua en a∈ U ∩ U , si f no
o
es continua en a.
Ejemplo 8.3.2. Demuestre que f : R2 → R definida por:

 xy 2

, (x, y) = (0, 0)
x4 + y 2
f (x, y) =


0
, (x, y) = (0, 0)
NO es continua en (0, 0).

Ejemplo 8.3.3. Sean U = {(x, y) : |x| < y 2 } ⊆ R2 y f : U → R definida por:

xy

, (x, y) ∈ U
x2 + y 2
¿Es continua en (0, 0)?
f (x, y) =

0
, (x, y) ∈ U
/
Soluci´n. Note quesi (x, y) ∈ U
o
|f (x, y) − 0| =

|x| |y|
|y|3
xy
= 2
≤ 2
x2 + y 2
x + y2
x + y2

≤ |y|
y si (x, y) ∈ U entonces
|f (x, y) − 0| ≤ |y|

|f (x, y) − 0| = 0 ≤ |y| se sigue que, para todo (x, y) ∈ R2

y por el teorema de acotamiento

l´
ım

f (x, y) = 0

(x,y)→(0,0)

La funci´n es continua en (0, 0).
o

´
Algebra de funciones continuas

El siguiente teorema facilita...