Limites y Continuidad

LIMITES Y CONTINUIDAD

1. TEOREMA DEL ENCAJE 2
1.1. EXPOSICIÓN 3
1.2. INDETERMINACIONES 4
Ejemplo 4
4.1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 10
4.2.1. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA 12
4.2.2. CONTINUIDAD POR LA DERECHA 12
 Funciones definidas a trozos 14
4.4. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS 15
5. TIPOS DE DISCONTINUIDADES 16
5.1. CONCEPTOS PREVIOS 165.2. TIPOS DE DISCONTINUIDADES 17
5.2.1. DISCONTINUIDAD EVITABLE 18
5.2.2. DISCONTINUIDAD ESENCIAL O NO EVITABLE 18
5.2.2.1. DISCONTINUIDAD DE PRIMERA ESPECIE 19
5.2.2.1.1. DE SALTO FINITO 19
5.2.2.1.2. DE SALTO INFINITO 19
5.2.2.1.3. DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA 20
5.2.2.2. DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA ESPECIE 20
5.3. EJEMPLOS 21
Caso de continuidad 21
Ejemplos 21
6.TEOREMA DEL VALOR MEDIO 29
Enunciado para una variable 29
Demostración 30

1. TEOREMA DEL ENCAJE
En cálculo, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, criterio del sándwich o teorema del sándwich) es un teorema usado en ladeterminación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.c
El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una funcióna través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π. Aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.
2.1. EXPOSICIÓN
El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como:
Sea I un intervalo que contiene al punto a y seanf, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a tenemos:y supongamos también que:Entonces,. |

Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x), o también funciones minorante y mayorante de f(x) respectivamente.

2.2. INDETERMINACIONES
Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución delímites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite. Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.
Ejemplo
Se intenta calcular el límite, que es una indeterminación del tipo .
* Se toma la relación en el intervalo (0,π/2).
* Dividiendo los miembros por resulta
*
*Se sabe que y que
* Por el teorema de sándwich,.

2. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar,multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

3.3. LIMITES TRIGONOMETRICOS NOTABLES
Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7)

8) 9) 10)



Algunas IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS más usadas son:

* Identidades Básicas


* Identidades Fundamentales de laTrigonometría

sen2x+cos2x=1 1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x

* Identidades de la suma de ángulos

sen(xy)=senx cosycosx seny

* Identidades de ángulos Doble

sen2x=2senxcosx cos2x=cos2x-sen2x

* Identidades de ángulos medio


A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.

Ejemplos:
*
*...