Limites Y Continuidad

LÍMITES y CONTINUIDAD
DEFINICIÓN: Consideremos una función f 

 ( D f  A) y x0 un punto de

acumulación de A  D f , se dice que el número real L es el límite de f ( x) cuando x se
aproxima a x0 ( x  x0 ) al cual denotaremos por:

lim f ( x)  L , si sólo si para todo número   0 existe otro número   0 positivo tal

x  x0

que, para todo x  D f  0  x  x0    f ( x)  L 

lim f ( x)  L    0,   0 / x  D f  0  x  x0    f ( x)  L  

x  x0

Para ilustrar el concepto de Límite, suponga que desea saber qué pasa a la función
x2  2x  3
cuando x tiende a 1. Aunque f ( x) no está definida en x=1, se
f ( x) 
x 1
puede comprender la situación al calcular f ( x) utilizando los valores de x que más se
aproximan a 1 tanto por la izquierdacomo por la derecha. La siguiente tabla resume el
comportamiento de f ( x) cuando x tiende a 1.
x
f ( x)

0.8
3.8

0.9
3.9

0.95
3.95

0.99
3.99

0.999
3.999

1
------

1.001
4.001

1.01
4.01

1.05
4.05

1.1
4.1

En esta tabla, los valores de la función indican que f ( x) se aproxima a 4 cuando x se
acerca cada vez más a 1 por cualquier lado. Este comportamientopuede describirse
diciendo que “el límite de f ( x) es igual a 4” cuando x tiende a 1 y se denota de la
siguiente manera:
límf ( x) =4
x 1

En general, el límite de f ( x) cuando x tiende al número c puede definirse
informalmente como sigue.
Límite: Si f ( x) se aproxima cada vez más a un número L cuando x se acerca cada vez
más
a c por cualquier lado, entonces L es el límite de f ( x)cuando x se aproxima a
c.
El comportamiento se escribe como
límf ( x) = L
x c

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS LÍMITES
Geométricamente,

límf ( x) =L significa que la altura de la gráfica y =

f ( x) tiende a

x c

L a medida que x tiende a c (véase la figura a).

x2  2x  3
es una recta que tiene un
x 1
“hueco” en (1,4), y los puntos (x, y) en la gráfica se aproximan aeste hueco cuando x se
acerca a 1 por cualquiera de los lados (izquierdo o derecho). Ver la figura b.
Por Ejemplo : La gráfica de la función f ( x) 

a).- Si

límf ( x) =L, la altura de la gráfica de

f tiende a c.

x c

y

f ( x)

L

f ( x)

x c  x

0

b).- Interpretación geométrica del límite,

x2  2x  3
lím x  1 = 4
x 1

y

f ( x)

4

f ( x)

0x 1  x

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Propiedades Algebraicas de los límites
Si

lím f ( x)  L

1.-

lím[ f ( x)  g ( x)] = lím f ( x)

x c
x c

y

lím g ( x)  M
x c

x c



existe, entonces:

lím g ( x)
x c

=L M

lím [k f(x)] =k [ lím f ( x) ] = kL , k: constante
3.- lím[ f ( x) g ( x)] = [ lím f ( x) ][ lím g ( x) ] = LM
lím f ( x) L
f ( x)
4.- lím=
=
, si M  0
g ( x)
lím g ( x) M
2.-

x c

x c

x c

x c

x c

x c

x c

x c

5.-

lím[ f ( x)]

p

xc

= [lím
xc

f ( x)]

p

= Lp

si existe Lp , p entero positivo.

Es decir, el límite de una suma, una diferencia, un múltiplo, un producto, un cociente o
una potencia es la suma, la diferencia, el múltiplo, el producto, el cociente o lapotencia
de límites individuales siempre y cuando todas las expresiones involucradas estén
definidas.
Límites de dos funciones lineales
Para una constante k cualquiera, lím k  k

y

x c

lím x  c
x c

Es decir, el límite de una constante es la constante misma, y el límite de f ( x)  x ,
cuando x se aproxima a c, es c.
Límites de polinomios y funciones racionales
Si p(x) y q(x)son polinomios, entonces
p ( x ) p (c )
lím p( x)  p(c) y lím q( x)  q(c) si q(c)  0
x c
x c
Otras propiedades:
1.- lím f ( x) = L, entonces lím n f ( x)  n lím f ( x)  n L , donde L  0 y n
x c

x c

x c

Cualquier entero positivo ó L < 0 y n cualquier entero positivo impar.
2.-

lím f ( x)  lím f ( x) 
x c

L

x c

3.-Teorema del Sándwich Sean f , g y h...