Limites y continuidad

3.1: LIMITE DE UNA SUCESION:
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
Una sucesión  tal que  tiene límite, cuando  tiende a , si para todo valor  por pequeño que sea, hay unvalor  a partir del cual si  tenemos que la distancia de  a es menor que , es decir:
.
 o bien 
O también

o simplemente

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE UNA SUCESION:
Si una sucesión  tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
Si una sucesión  tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de lasucesión son negativos.
Si una sucesión  converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
Si una sucesión  tiende a menos infinito y  entonces  tiende a 0.



GRAFICA:



EJEMPLOS:

Calcular los límites:
1





2


3


4




5



6








3.2: LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL:
Si lafunción f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función .
Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa,pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet  definida como:

donde no existe un número c para el cualexista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.








GRAFICA:


















3.3: CÁLCULO DE LÍMITES:
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión ofunción se acercan a determinado valor. En cálculo(especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim (an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Informalmente, sedice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:


Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis.
Su definición es...