Limites Y Derivadas

LIMITES
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Para fórmulas,el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

LIMITE EN UN PUNTO.
a) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por 

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio, podemos encontrar un entorno de a de radio, que depende de , demodo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)
b) Límite infinito: 

c) Límite por la izquierda: 

d) Límite por la derecha: 

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

La sucesión  para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nosindica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto, si existe, para valores grandes de. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando  tiende a.
Formalmente, se dice que la sucesión  tiende hasta su límite, o que converge o es convergente (a), y se denota como:

Si y sólo si para todo valor real ε>0se puede encontrar un número natural  tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  mayor que  converjan a  cuando  crezca sin cota.
Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
 
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesiónes divergente.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de lafunción. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utilizala definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menorque ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE CONJUNTOS
En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). Demanera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,

Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

Límite de |...