Limites

INTRODUCCION

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Límitematemático

Antes de empezar, conviene recordar el concepto de "tender". Cuando decimos, por ejemplo, a qué valor tiende la función nos referimos a qué valor se acerca la función (cabe aclarar que hablamos de "acercarse", pero no de "llegar" a ese valor).

Definición intuitiva de límite: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca aun número A por ambos lados, entonces decimos que "el límite de f(x) es L cuando x tiende a A"
Lim f(x)=L
x—›A

Definición formal de límite: la función f(x) tiene como límite L en el punto de acumulación x=A cuando el valor absoluto (el módulo) de la diferencia entre los valores f(x) y L se puede hacer tan pequeño como se quiera con tal de considerar valores de x suficientemente próximos a A.Lim f(x)=L
x—›A
... si para todo E›0, existe un §‹0 tal que /f(x)-L/ ‹E cuando /x-A/‹§
Quizás te sirva verlo mejor en un ejemplo: hacemos la tabla de valores de la función f(x)= x^2+1.
x ................f(x)= x^2+1
2,2..................5,84
2,1................ .5,41
2,01................5,04
2,001..............5,004
1,9..................4,61
1,99................4,961,999..............4,996
Los valores de x que están en verde son aquellos que se aproximan a 2 por la derecha, por valores mayores que 2. Los que están en rosa son los valores de x que se aproximan a 2 por la izquierda, por valores menores que 2.
Como podés ver en el gráfico, a medida que los valores de x se aproximan cada vez más a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores que determina la funciónse aproximan cada vez más al númerp 5. Esto se expresa diciendo que la función f(x)= x^2+1 tiene límite 5 en el punto x=2 o cuando x tiende a 2, que se indica simbólicamente:
Lim f(x^2+1)=5
x—›2
Eso se lee así: límite de (x^2+1) para x tendiendo a 2 es igual a 5. También se dice que dicha función tiende a 5 cuando x tiende a 2, que se indica así: (x^2+1)—›5 cuando x—›2
 
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Límite deuna función
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

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si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizandotérminos lógico-matemáticos:

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Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que εunidades".
Límites notables
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
[pic]    (número e)
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Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimospor sen(x), obteniendo:
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Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:
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Calculando el límite cuando x tiende a 0:
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Lo que es igual a:
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Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:
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El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido...