Limites

Limites
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
Propiedades de loslímites
Propiedades generales
Si k es un escalar:
Límite de Expresión
Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e


Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal


Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas lassiguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación
Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potencia

Ejemplo.
0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que elresultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:




Límites unilaterales
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
Límite unilateral por la derecha: Sea f una función definidaen todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe


Límite unilateral por la izquierda: Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe


Continuidad en un punto y en un intervalo
Continuidad de unafunción en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:


Otra manera más simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , yde una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

1. existe el límite por la derecha:

2. existeel límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función escontinua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

Parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto enel punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J....