limites

Límites
Escribimos

lim
x→a
f(x)
=
L


El límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L
    o igualmente


f(x) → Lcuando x →a



para decir que f(x) se acerca a el número L a medida que x se acerca a (pero no está igual a) el número a desde ambos lados.
Una manera más precisa a formular la definición es como sigue:
Se puede hacer que f(x) sea tan cercana a L comoqueremos si hacemos que x se acerque lo suficiente a a.

lim
x→a+
f(x)
=
L

o
f(x) → L cuando x → a+

y

lim
x→a-
f(x)
=
L

o
f(x) → L cuando x → a-

para significar que f(x) → L cuando x se acerca a a por la derecha (o por arriba), o por la izquierda (o por abajo), respectivamente. Para que limx →a f(x) existe, es necesario que los límites por la izquierda y la derecha existen yser iguales.
Escribimos

lim
x→+∞
f(x)
=
L
y

lim
x→-∞
f(x)
=
L
para significar que f(x) → L cuando x sea arbitrariamente grande, o que sea un número negativo arbitrariamente grande, respectivamente.
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Ejemplos
1. Cuando x → 3, la cantidad 3x2-4x+2 se acerca a 17, y entonces

lim
x→3
(3x2-4x+2)
=
27
Nota que esto es sencillamente el valor de la funciónevaluada a x = 3 (vea "evaluación algebraica de límites" más abajo).
2. Por otro lado, la función
x2 - 9

x - 3
no está definida en x = 3. Sin embargo, en otros valores de x, se simplifica a
x2 - 9

x - 3
=
(x - 3)(x + 3)

x - 3
=
x + 3,
y, cuando x → 3, esta cantidad se acerca a 6. Entonces,
x2 - 9

x - 3
→ 6

  cuando 
x → 3,

o

lim
x→3
x2 - 9

x - 3
=
6
Hay másejemplos en la tutorial en línea de límites.
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Estimación Numérica de Límites
Para analizar un límite de la forma

lim
x→a
f(x)
  o

lim
x→±∞
f(x)
  numericamente:
Haga una tabla de los valores de f(x) usando valores de x que se acerca a a por ambos lados.
Si el límite existe, los valores de f(x) se acercarán al límite a medida que x se acerca a a por ambos lados.
Cuantomás exacto desea estimar este límite, más cercano a adeberá elegir los valores de x.
Para un límite cuando x → +∞, use valores positivos de x que se vuelven arbitrariamente grande.
Para un límite cuando x → -∞, use valores negativos de x cuyas magnitudes se vuelven arbitrariamente grande.
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Ejemplos
1. Para estimar

lim
x→3
x2 - 9

x - 3
, hacemos una tabla con valoresde x que se acercan a 3 desde ambos lados:

x acercándose a 3 por la izquierda 
→ 

  x acercándose a 3 por la derecha
←
x
2.9
2.99
2.999
2.9999
f(x)
=
x2 - 9

x - 3

5.9
5.99
5.999
5.9999

3

3.0001
3.001
3.01
3.1
6.0001
6.001
6.01
6.1

Como los valores de f(x) parecen acercarse a 6 a medida que x se acerca a 3 por ambos lados, estimamos que el límite es 6.
2. Paraestimar

lim
x→ +∞
x2 - x + 1

2x2 - 3
, hacemos una tabla con valores de x acercándose a +∞:

x acercándose a +∞   →
x
10
100
1000
10,000
f(x)
=
x2 - x + 1

2x2 - 3

0.461929
0.495124
0.499501
0.49995

+∞

Como los valores de f(x) parecen acercándose a 0.5 a medida que x se acerca a 3 por ambos lados, estimamos que el límite es 0.5.
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EstimaciónGeométrica de Límites
Para analizar un límite de la forma

lim
x→a
f(x)     o    

lim
x→±∞
f(x)
desde el punto de vista geométrico:
Se traza la gráfica de f(x) por mano o con tecnología, como una calculadora graficadora.
Si se quiere estimar el límite cuando x → a para un número real a,se coloca la punta del lápiz (o el cursor "trace" de la calculadora graficadora) en un punto de lagráfica a la izquierda de x = a.
Se mueve la punta del lápiz a lo largo de la gráfica hacia x = adesde la izquierda y se leen la coordenada-y al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es el límite

lim
x→a-
f(x)

Se repiten los dos pasos hacia arriba, esta vez comenzando en un punto de gráfica a la derecha de x = a, y, acercándose a x = adesde la derecha. El valor al que...