limites

Límites
y
Continuidad

Límite de una función
x2 − 4
f (x ) =
x−2

x2
3
2, 5
2,1

3
3, 5
3, 9
3, 99 2, 01
3, 999 2, 001
f (x ) → 4 x → 2 +

f (x )
5
4, 5
4,1
4, 01
4, 001
f (x ) → 4

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a
2 es 4, y se expresa:
2

x −4
lim
=4
x→2 x − 2

Gráficamente

Definición: Significado intuitivo de límite
El límite def(x) cuando x tiende a a, es el número L,
que se escribe

lim f ( x ) = L
x→a

Siempre que f(x) esté arbitrariamente cercana a L
para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente
de a. si no existe tal número, se dice que el limite no
existe.

Interpretación geométrica

Definición formal del límite:
Decir que lim f ( x) = L significa que para cada ε > 0 dado
x→a
(no importa quétan pequeño)
existe un correspondiente δ > 0 , tal que f (x ) − L < ε
Siempre que 0 < x − a < δ , esto es,

0 < x − a < δ ⇒ f (x ) − L < ε

Ejemplo:
Estime lim f ( x ) , si existe, donde la gráfica de f
x→0
está dada por:

Límites Laterales
Limite lateral izquierdo:
lim− f ( x ) = L1

x→a

Limite lateral derecho:
lim+ f ( x ) = L2

x→a

El límite de una función en un puntoexiste si y
sólo si los dos límites laterales existen y son
iguales.

Ejemplo:
x
Compruebe que lim
x →0

x

no existe.

Propiedades de los límites
1. Si f(x) = c es una función constante, entonces
lim f ( x ) = lim c = c
x→a

x →a

2. lim x = a
x→a
n

n

3. lim x = a , donde n es un entero positivo
x→a
Si lim

x→ a

f (x ) y

[ f (x ) ±
x→ a

4 . lim

limg ( x ) existen,
x→ a

g ( x )] = lim

x→ a

entonces

f ( x ) ± lim g ( x )
x→ a

5. lim[k ⋅ f ( x )] = k ⋅ lim f ( x )
x→a

x→a

[
x→a

]

6. lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x→a

x→a

7. Si lim f (x ) y lim g (x ) existen y lim g (x ) ≠ 0, entonces
x→a

x→a

x→a

f (x ) lim f (x )
lim
= x→a
lim g (x )
x→a g (x )
x→a

8.

Si P( x) yQ(x) son polinomios entonces
,
lim P( x) = P(a)
x→a

y

P(x) P(a)
lim
=
si Q(a) ≠ 0
x→a Q( x )
Q(a)

Si f y g son dos funciones para las cuales f (x ) = g ( x ) cuando x ≠ a, entonces
lim f (x ) = lim g ( x )
x →a

x→a

(lo que significa que si alguno de los límites existe, entonces el otro también existe y
son iguales).

Ejemplos: Encuentre los siguientes límites.

(

)a) lim 3 x 2 − 4 x + 8 =
x → −1

x2 −1
c) lim 2
x →1 x − 3 x + 2

3x 2 − 8
b) lim
x →0 x − 2
x −1
d ) lim
x →1 x − 1

Límite infinito en un punto
Analizar lim
x→ 0

1
, y luego realizar un gráfico de la función.
2
x

x

f (x)

±1

1

± 0,5

4

± 0,1

100

± 0,01

10 .000

± 0,001 1.000.000

1
Entonces, lim 2 = ∞, el límite no existe.
x →0 xDefinición: La notación

lim f ( x ) = ∞
x →a

Significa que los valores de f(x) se pueden hacer
arbitrariamente grandes (tan grandes como deseemos)
eligiendo una x lo bastante cerca de a (pero no igual a a).

Ejemplos: Encuentre el límite, si existe.
lim

x→ −1

2
=
x +1

Límite finito de variable infinita
x2 −1
Analizar lim 2
, y luego realizar un gráfico de la función.
x→∞ x + 1

x2 −1
Entonces, lim 2
=1
x →∞ x + 1

Definición : Sea f una función definida en algún intervalo (a, ∞ ). Entonces
lim f ( x ) = L
x →∞

Significa que los valores de f (x ) se pueden aproximar a L, tanto como deseemos,
si elegimos un x suficientemente grande.

Ejemplos: Evalué los siguientes límites.

2
a) lim
=
x →∞ x + 1

1
b) lim =
x →∞ x

1
c) lim =
x→ −∞ x4x2 + 5
d ) lim 2
=
x →∞ 2 x + 1

x2 + x
e) lim
=
x →∞ 3 − x

f ) lim e x =
x → −∞

El número e
 1
Analizar lim 1 + 
x→∞
 x

x

x

f (x)

x

f (x)

100

− 100

1.000

2,7048
2,7169

− 1.000

2,7320
2,7196

100.000

2,7182

− 100.000

2,7182

x → +∞

f (x ) → e

x → −∞

f (x ) → e

x

 1
lim1 +  = e
x →∞
 x

En...