limites

Cálculo 1
Solucionario del Taller presencial Nº 1
Ciclo 2014-1
Profesores del Taller: Ivan León – Michael Ynca – Joel Rojas – Luis Velarde
Coordinador del curso: Jesús Acosta Neyra.
Temas: Límites y Continuidad

1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente
sus respuestas:
a. Si f es una función tal que lim f ( x)  7 entonces f (2)  7
x2

f ( x)
x a
x a
x a g ( x)
c. Si f y g son funciones tales que lim  f ( x)  g ( x) existe entonces lim f ( x) y lim g ( x)

b. Si lim f ( x)  2 , lim g ( x)  0 entonces no existe lim
x a

x a

x a

existen
d. Si lim f ( x)  lim g ( x) , entonces f (a)  g (a)
xa

xa

a. Falso

En la figura la función:
lim f ( x)  7 pero f (2)  4
x 2

b. Verdad.
f ( x)L
x a g ( x)
 f ( x) 
 f ( x) 
2= lim f ( x)  lim g ( x) 
  lim g ( x).lim 
  0 entonces 2=0 es contradictorio
x a
x a
x a
x a g ( x )
 g ( x) 


Por suponer que existe dicho límite.

Supongamos que existe entonces: lim

c. Falso

1
1
y g ( x) 
; tenemos que el límite de
2
( x  a)
( x  a) 2
ambas funciones no existe sin embargo lim  f ( x)  g( x)  lim 0  0
Consideremos las funciones f ( x) 

x a

x a

d. Falso, para x=2
x2  4
x2  4
f ( x) 
, g ( x)  x  2 dónde: lim
 lim ( x  2) , pero f (2) No existe  g (2)  4
x 2 x  2
x 2
x2

y

2. Use la gráfica dada de f para expresar el valor del límite,
si existe. Si no existe justifique su respuesta.
5

a) lim f x 

b) lim f  x 


d) lim f  x

e) f  2 

x 0

x 2

x 2

4

c) lim f  x 


3

x 2

2
1

x
-2

-1

1

2

3

4

5

Del gráfico observamos y tenemos que:
a) lim f ( x)  3 y lim f ( x)  3  lim f ( x)  3


x 0

x 0

x 0

b) lim f ( x)  4

x 2

c) lim f ( x)  1

x 2

d) De b) y c) observamos que los limites laterales son diferentes por lo tanto noexiste
lim f ( x)
x 2

f (2)  2

e)

3. Encuentre los siguientes límites
x 1

2 2
( x  1)

x2 

2 x
a) lim
x1 ( x  1) 2

b) lim

x 1

x x

c)

lim

x2

2

d) lim x csc x

e) lim


x 2

x 0

x x
3

a) Tenemos los limites laterales lim

x 1

2

f)

x 1

x 1

2
2 2  lim 2 x  x  1  lim (2 x  1) ( x  1)  3
x 1
x 1( x  1)
2( x  1)
2
2 ( x  1)

x2  2 x
x( x  2)
x
2
 lim
 lim
   
c) lim 2
2



x 2 x  4 x  4
x 2 ( x  2)
x 2 ( x  2)
0
d) lim x csc x  lim
x  2

e) lim

x 0

f) lim

x 0

x  2

x2  x
x x
3

1
1 e

1
x

2

x
2
2

   
senx sen2 0

 lim


 lim

x 1

x 0

x ( x  1)
 lim x  1  1
x x 1 x 0

1
1

1

1 e
1 0

x 0

1
1

1 ex

2 x
2 x
2 x
  ; lim
   lim
 
2
2

x 1 ( x  1) 2
x 1 ( x  1)
( x  1)

x2 
b) lim


lim


x2  2x
x2  4x  4

4. Evalúe si existe los siguientes límites:
1  h 1
h
1 1

d) lim 4 x
x 4 4  x

a) lim
h0

b) lim

x  2

x2
x3  8

c) lim (

1
1
 )
t 1 t tf) lim

x 3
x 1  2

t 0

1
1
e) lim(  2 )
t 0 t
t t

x 3

En cada uno de los ítems obtenemos límites indeterminados, luego levantamos la
indeterminación con una factorización adecuada y obtenemos los límites.
1 h 1 0
1 h 1
( 1  h  1)( 1  h  1)
h
1
  lim
 lim
 lim

h 0
h  0 h ( 1  h  1)
h
0
h
2
h( 1  h  1)

a) lim
h 0

h 0

( x 2)
x2 0
x2
1
  lim 3
 lim

3
2
x 2 x  8
x 2 x  8
x 2 ( x  2) ( x  2 x  4)
0
12

b) lim

 1  t  1  (1  t  1)
1
1
t
1
       lim 
 t t  1  (1  t  1)  lim ( t t  1)(1  t  1)  2

t 0
t 0
 t t 1 t 


1 1

4 x  0  lim ( x  4)  lim 1  1
d) lim
x 4 4  x
x 4 4 x (4  x )
x 4 4 x
0
16


c) lim ...