Limites
4.1 NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
Es necesario analizar el comportamiento de una función f (x), cuando los valores de la variable independiente “x” se hace muy cercana a un número específico llamado x0.
Ejemplo: Sea la función f: R R, cuya correspondencia es.
Sí f(x) = x0 = 2
Analizar el comportamiento de la función cuando la variableindependiente “x” se aproxima cada vez más al número 2.
Formalizando se tiene: ( 3x + 1)
x- x
x 2 x
X | 1.85 | 1.9 | 1.999 | 2 | 2.001 | 2.1 | 2.15 |
F(x) | 6.55 | 6.7 | 6.997 | 7¿.? | 7.003 | 7.3 | 7.45 |En el ejemplo, se puede observar, que hay valores de x que son un poco menores y otros un poco mayores que 2, y sus correspondientes valores funcionales. Observe que
Cuando “x” se aproxima por la izquierda ( x< 2) o por la derecha ( x> 2) los valores correspondientes de f (x) se acercan cada vez más a un solo número, el 7.
Para expresar esto, decimos que el límite de f(x) cuando“x” se aproxima a 2 es 7 y escribimos:
3x + 1 = 3(2) + 1 = 7
f(x) =7
4.2 DEFINICIÓN DE LÍMITE:
Lim f(x) = L 0, 0 / 0 I x - x₀ I < | f (x) – L | < Є
x0
Para el ejemplo anterior, tenemos:
Limf(x) = 7 0, 0 / 0 I x - 2 I < I f (x) - 7| < Є
x→2
lim 3x + 1 = 7
x2
4.3. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA.
f(x) = y = 3 x + 1
y
y = 7+ ……………………………..L = 7 …………….
y = 7- …..
⁰
Fig. 2 - 1
0
x=2 xX = 2 – X = 2 +
4.4 PROPIEDADES.
Sean f ^ g dos funciones tales que:
a) Lim = lim f (x) lim g (x) = L + M
x x x
f ( x ) = L g ( x ) = M
b) Lim K = K K = constante
x →a
c) k f ( x ) = k f ( x )
d)
e) = , n
f)
Ejemplos:
1. Calcular: Limx → -1
Solución
lim () + lim (3x - 4) = +
= +
x-1 x-1 = 7 + - 7
= 0
Método práctico: Aplicando valor numérico para x = - 1
Lim = lim (
x-1 x-1
= (- + 6 + 3 (-1) – 4
= 1 + 6 + - 3– 4
= 0
Ejemplos. Forma indeterminada 0
0
1. Calcular:
Lim
x→2
Solución
Aplicando valor numérico, para x = 2
= = indeterminada
X2
Factorizando para levantar la indeterminación:
2 = = 2 x + 1
2x +1
1x -2
Luego: lim (2 x+ 1) = 2(2) +1 = 5
x→ 2
2. Calcular
Lim
x→4
Solución
Aplicando valor numérico para x = 4
= = indeterminado
Factorizando para levantar la indeterminación
3
3x -5 4 x2 – 25x + 36 = ( 4x – 9 ) ( x- 4)
x - 4...
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