Limites

PROPIEDADES DEL LÍMITE DE FUNCIONES REALES
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES FINITOS:
1. El límite finito de una función en un punto o en el infinito, si existe, es único.
2. Si una función tiene límite finito en un punto, existe al menos un entorno reducido del punto en el cual
la función está acotada.
3. Si una función tiene límite finito distinto de cero en un punto, existe algún entornoreducido del punto
en el cual la función tiene el mismo signo que el límite.
4. Si una función tiene límite finito k en un punto, para cualquier par de números reales h y h’ tales que
h < k < h’ se cumple que existe algún entorno reducido del punto en el cual la función se conserva
comprendida entre h y h’.
5. Si dos funciones reales f y g tienen el mismo límite en un punto a, y otra función real hse encuentra
comprendida entre ellas en algún entorno reducido del punto a, entonces la función h tiene el mismo
límite que las primeras en ese punto.
6. El límite de cualquier función lineal en un punto a es igual al valor numérico en ese punto.
INFINITÉSIMOS
Def. 1: Una función real variable en un entorno reducido del punto a es un infinitésimo en este punto, si
el límite de la función enel punto es cero. (Notación: (x), (x),....).
Def. 2: Una función variable es un infinitésimo en el infinito, si su límite es cero cuando la variable tiende
a infinito.
ÖRDENES INFINITESIMALES:
Def. 1: Toda función polinómica es un infinitésimo en cada punto a tal que a es raíz de la función.
Def. 2: El orden infinitesimal de una función polinómica en x = a (a es raíz de la función), esigual al
orden de multiplicidad que tiene a como raíz de la función.
Ej. Dada f : f(x) = 3. (x a )². (x b )³.(x c ) esta función es un infinitésimo de segundo orden
en x = a, es un infinitésimo de tercer orden en x = b, y de primer orden en x = c.
Comparación de órdenes infinitesimales:
Dados dos infinitésimos cualesquiera (x) y (x) en un mismo punto a o en el infinito:
(x)
Axioma 1:lím
 0  orden (x)  orden (x)
x a (x)



Axioma 2:

Axioma 3:

lím

x a



(x)
   orden (x)  orden (x)
(x)

(x)
 b / b  R  b  0  orden (x)  orden (x)
x a (x)

lím


Caso particular:

(x)
 1  (x) ~ (x) ((x) y (x) son equivalentes)
x a (x)

lím


OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS:
Si f y g son dos funciones conlímites finitos b1 y b2 respectivamente en el mismo punto a, o bien en el
infinito, entonces se cumple que:
Teorema 1: lím [f(x)  g(x)] = b1  b2 ; lím [f(x)  g(x)] = b1  b2 ; lím [k.f(x)] = k. b1  k  R ;
lím

f ( x ) b1
si b20

g( x ) b 2

(en todos los casos cuando x  a o bien x )

3ero B.D. Matemática y Diseño ; 3ero. B.D. Físico - Matemática

MATEMÁTICA “I” I.H.H.C. AÑO2014

Consecuencias: 1°) para toda función polinómica P(x) se cumple que lím P(x) = P (a) cuando x  a
1
1
2°) lím f(x)  b1  lím  f ( x )  b1  lím

(sólo si b1  0)
f(x) b1
Teorema 2: El límite de cualquier función constante, en un punto o en el infinito, es la propia constante.
Teorema 3: Si a > 0 y a  1 entonces: lím a f ( x )  a b1
x  a



Teorema 4: Si f (x)  0en algún entorno reducido de a entonces:
lím f (x)  b1
y
lím Lf (x)  L b1 (en este caso si b1  0)
x a

x a

Propiedades de los infinitésimos:
1. La suma de una cantidad finita de infinitésimos, si es una función variable, es otro infinitésimo.
2. El producto de infinitésimos es siempre otro infinitésimo
3. La suma de infinitésimos de distinto orden, es equivalente al sumando demenor orden infinitesimal
4. La diferencia de infinitésimos equivalentes, si es otro infinitésimo, es de orden superior a ellos.
5. El cociente entre un infinitésimo y cualquier función que no tenga límite cero, es otro infinitésimo.
1

x  a  ( x )


6. La función recíproca de un infinitésimo, es una función con límite infinito: lím


PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS:
Def....