Limites

Problemas de aplicación de límites

Pregunta 1 Se sabe que el precio de un artículo “P” a través del tiempo “t” (en meses) está at + 8 , si se sabe que el precio de este artículo el dado por lafunción: P(t ) = t+b próximo mes será de $6.50, y el siguiente mes será de $6.00. Se desea saber: a) El precio del artículo para este mes. b) En que mes el precio será de $5.50. c) ¿Qué ocurre con elprecio a largo plazo? Resolución

Tenemos

t: P:

tiempo (meses) precio del artículo ($)

P(t ) =

at + 8 t+b

Consideraremos el mes actual como t = 0 luego, el próximo mes corresponderá a t= 1 y el siguiente mes (siguiente mes al próximo) corresponderá a t = 2 . Dato: El precio de este artículo el próximo mes será de $6.50.

P(1) = 6.50

P(1) =

a(1) + 8 (1) + b
a+8 b +1
… (I)6.5 =
de donde

a − 6.5b = −1.5

Dato: El precio de este artículo el siguiente mes - al próximo - será de $6.00.

P(2) = 6.00

P(2) =

a(2) + 8 (2) + b

6=
de donde

2a + 8 b+2
…(II)

a − 3b = 2

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Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: Con a = 5 y b = 1 tenemos la función: a.

a = 5, b =1

P(t ) =

5t + 8 t +1

El preciodel artículo para este mes: P(0)

P(0) =

5(0) + 8 =8 (0) + 1

En este mes el precio del artículo es $8.00. b. En un tiempo “t” el precio del artículo será $5.50:

P(t ) = 5.50
5.50 = 5t + 8t +1
resolviendo obtenemos:
t=5

Dentro de cinco meses el precio del artículo será $5.50. c. El precio a largo plazo ocurrirá cuando t → +∞
5t + 8 = lim lim P(t ) = lim t → +∞ t → +∞ t + 1 t → +∞5+ 8 t =5 1 1+ t

A largo plazo el precio del artículo tiende a $5.00.

Pregunta 2 Se estima que dentro de “t” años, la población “P” de un cierto país será de: 80 P (t ) = , millones dehabitantes. 8 + 12e −0.06 t

a. b. c. d.

¿Cuál es la población actual? ¿Cuál será la población dentro de 50 años? ¿Después de cuanto tiempo la población será de 5 millones de habitantes? ¿Qué le...