Limites

CALCULO DIFERENCIAL UINDAD 3: LIMITES
2012
ING. LAURA TORRES SAN JUAN
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

INDICE
UNIDAD III LÍMITES

3.1 Límite de una sucesión. | 3 |
3.2 Límite de una función de variable real. | 3 |
3.3 Cálculo de límites. | 4 |
3.4 Propiedades de los límites. | 5 |
3.5 Límites laterales. | 5 |
3.6 Límites infinitos y límites al infinito.| 6 |
3.7 Asíntotas. | 6 |
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. | 8 |
3.9 Tipos de discontinuidades | 10 |
EJERCICIOS | 13 |

3.1. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.

Una sucesión genérica se simboliza por a1, a2, a3, ..., an , ... en la que el subíndice denota, con toda exactitud, el lugar que cada término ocupa en la misma. Así, a6 es el sexto término de lasucesión.
Cuando en una sucesión haya que referirse a un término cualquiera sin especificar el lugar que ocupa se hará siempre mención al término an , denominado término n-ésimo. En definitiva, el lugar que cada término tome en una sucesión será de vital importancia a la hora de hacer un mínimo análisis del comportamiento de la sucesión.
La simbolización de una sucesión por a1, a2, a3, ..., an,...; o más simplificadamente (an ), no es en modo alguno gratuita. Los subíndices recorren los números naturales porque una sucesión tiene tantos elementos como números naturales hay; es decir, una sucesión tiene una cantidad infinita numerable de términos.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condiciónque impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite

3.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL.

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le correspondeuno y sólo un elemento y de R:
f: D————>R x————>x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
1. El conjunto inicial o dominio de la función.
2. El conjunto final o imagen de la función.
3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f:R ——–>R x———>x2.
Asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:
Lim (f)=R+

3.3.CALCULO DE LÍMITES

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular   porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valoresque se acerquen a -2.

3.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

SI NO SE VE BIEN ALGUNA DE LAS PROPIEDADES INVESTIGARLOS


3.5 LÍMITES LATERALES

El límite lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a. Lo representamos por:

El límite lateral por la izquierda de unafunción y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a. Lo representamos por:

Aquí un ejemplo, consideremos la función:

y calculemos ambos límites laterales cuando x tiende a 2. Como para valores x mayores que 2.

Se tiene que:

 Para calcular el otro limite lateral, tenemos en cuenta que cuando x es menor que 2.

 y,...