limites

Por. Ana Dulcelina López
Rueda
Docente

UNAB TECNOLÓGICA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE
BUCARAMANGA

8) Definición formal de Límite de una función.
 
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I
que contenga a "a" excepto posiblemente, en el número "a" mismo. El
límite de f(x) cuando x tiende a "a" es L y se escribe:

Reconstruya la información
siguiendo la secuencia

5 ) Lim( x ² 1) 5
x 2

1) Límite de una Variable. Una variable v tiende a un límite l (vl) cuando los valores sucesivos
de v son tales que el valor numérico de la diferencia (v-l) puede llegar a ser, finalmente, menor
que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.

9) Limf ( x )  L 
x a
0,0 / f ( x ) L 
siempre que x   a
6) - ¿Qué podemos concluir de lasdiferencias de los valores de x con 2 en valor absoluto?
- ¿Qué podemos concluir de las diferencias de los valores de f(x) con 5 en valor absoluto?
3) Sea f(x) = x²+1. Revisemos los valores de f(x) cuando x se acerca a 2 pero no es igual a 2.. ...... ¿Qué
puede afirmarse?

Esas pequeñas diferencias pueden ser aún menores que algún
número positivo predeterminado tan pequeño como se desee. Se
designanpor los símbolos , generalmente.

4) Decimos que el límite
cuando x²+1 tiende a 2 es 5
y se escribe:

7) El valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 5 puede hacerse
tan pequeña como se quiera si se hace que la diferencia entre x y
2 sea suficientemente pequeña.
 
Decimos entonces que f(x)-5 será menor que cualquier número
dado positivo siempre que x-2 sea menor que algún número
positivoelegido apropiadamente. Es decir, f(x)-5 se puede hacer
tan pequeño como se quiera haciendo que x-2 sea lo
suficientemente pequeño.

LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN REAL

TEOREMAS

2. Teoremas para operar
con funciones reales

Sean U, V, W funciones de una misma variable x y sea :
1. Teorema de Unicidad

Si el

Limf ( x ) L1
x a 



Limf ( x ) L2  L1 L2
x a 

El límite de y=f(x) debe ser igualpor su
izquierda que por su derecha

CÁLCULO
DE LÍMITES
Para calcular un límite, se
reemplaza la variable por el
valor al cual tiende. Ocurre
alguna de las siguientes
situaciones:

Lim U  A, Lim V B, Lim W C
x a
x a
x a
a) El límite de una suma de funciones es la suma de los límites de los sumandos.
b) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de los factores.
c) Ellímite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las funciones
que forman la fracción.
d) El límite de una potencia de una función es igual al límite de la base elevado al
exponente de la función.
e) El límite de una función elevada a otra función es igual al límite de la función de la
base elevado al límite de la función del exponente de la función.
f) El límite de unafunción exponencial es la base elevada al límite de la función del
exponente.
g) El límite del logaritmo de una función es el logaritmo del límite de la función que forma
el argumento del logaritmo.

1) L tiende a un número real k. Decimos que el límite existe y vale k.
2) L tiende a . Decimos que el límite no existe. Esto ocurre cuando al reemplazar la variable
da la expresión k/0, k0.
3) L tiende auna de las formas indeterminadas 0/0, ./., 0*, .-, 1. Cada
indeterminación debe eliminarse mediante un procedimiento algebraico de tal modo que al
evaluar se pueda conceptuar como "existe" o "no existe".

EJEMPLOS

a ) Lim (  2 x ² 3 x 1)  2*32 3*31 18 9 1 8
x 3

b)

Lim
x 1

Se sustituye la variable x por 1. Como resultó un número
diferente de cero sobre cero, el límite NOEXISTE.

5 x 2 3
 
x 1 0

x 2  25 0
( x  5)( x  5)
  Lim
Lim( x  5)  5  5  10
x  5 x  5
x


5
x  5
0
x 5

c) Lim

8 x 4 3x 3 5 x 9
 4  4  4
8 x  3x  5x  9 
x4
x
x
x 
d ) Lim


Lim
x 
2 x 3 4 x 10
2 x 3  4 x  10

x 
 4  4
x4
x
x
3 5
9
8  3  4
x x
x 8  0  0  0  8  
Lim
x 
2 4 10
00 0
0


x x3 x 4
4

e ) Lim
x 3

Lim
x 3

3

3

2 x 3
0...