Limites

Límite matemático
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinadovalor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.[editar] Límite de una función


Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
[editar] Definición rigurosa
Informalmente, se diceque el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L comose desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite cuando x tiende a c existesi y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagende x y L es menor que ε unidades".
[editar] Límites notables
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
• (númeroe)
•
•
[editar] Demostración
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funcionesseno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo quees igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el...