Limites

Límite de una función

En matemáticas, la palabra límite está asociada con la idea de aproximación entre números y el concepto de límite está estrechamente relacionado con la variación de losvalores que toman las funciones o sucesiones.
Los límites son una herramienta que permiten estudiar el comportamiento de una función o sucesión al aproximarse a un punto dado. La definición rigurosa queutilizamos actualmente se debe a Cauchy y a Karl Weierstrass y es relativamente reciente, de principios del siglo XIX.
Las definiciones de límite para una función y para una sucesión son lassiguientes:

Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1848) quien puso los cimientos del análisis infinitesimal fundamentando el cálculo sobre el concepto de límite, siguiendo los criterios que ya apuntaronanteriormente John Wallis y James Gregory en el S.XVI I y ya en el siglo siguiente Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la famosa enciclopedia francesa Encyclopédie una entrada para el concepto deLímite, que es definido como:

“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeñaque esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada.
(…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica delcálculo diferencial.”

En su obra Cauchy definía el límite de una función de la siguiente forma:

“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a unvalor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”

Como se puedecomprobar la definición no estaba totalmente pulida, tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite....