lineal

[CAP. 2

LA TRANSFORMADA 1!\J"VERSA DE LAPLACE

76

1 - e-2:rrs
133. (a) Demo¡;trar quf! la función f(s) :::: - - . - - es cero para infinitos valores complejos des. ¿Cuáles son es-

tos valores? (b) Hallar la transformarla inversa de Laplacc de f(s).
RP.~p. (a)

134. Calcular

s .:::: ±i, ±2i, ±3i,...

.('-t

{In ( 8

135. Demostrar que

i

~ {~

(b) F(t)

+ ~:_+ 1)} .

o

F(t)

'U(t- 211")

Resp. 1- Jo(f)

2

u(S- u3)l/3 du

::::

'

136. Sea F(t) = t2 para todos los valores irracionales de t, y F( t) = t para todos los valores racionales de t. (a) Demostrar que J:. IF(t)l = 2¡.~a. ·" > O. (b) Discutir el significado del resultado de la parte (a) en relacióncon la unicidad de la transformada inversa de Laplace.

..c- 1 11/ (s2 + 1}1,

137. Muestre cómo el método de las fleries puede usarse para calcular (a)
(e) .e-1 ita n-I nr~ll.

138. HaHar .e-1 {e-35- 2Vi }.

139. Demostrar que

i "'
o

1

~~=~ e-lw-:n 'U(t- 3)

Resp.

v•l'- ap

u sen tu d
--u

~ e-t,

1 + u2

140. Si F(t)::::: t-112, t >O

G(t)

y

t >O.

ft-1/2

o< t < 1

lo

1'

{:

F(t)*G(t)

demostrar que

O

(b) Discuti1 la relación del resultado en (al y el del problema 127 .

•

(b)

.e- 1 1ln (1 + ljs)l,

CAP. 2]

LA

TRAN~lfo'ORMADA

INVERSA DE LAPLACE

146. ¿El desarrollo de Heaviside puede aplicarse a la función f( s)

147. Demostrar que

f,. J 0(z2) dx

=

lJ h cosh .~)?Explicar.

1/4V..

'
t5,,

(5 !)2

{7!)2

+ . -.

.

+ ...

148. Demostrar que

t3

+

(3 !)2

149. Demostrar que

(6!)2

150. Calcular

.(-1 { - - ' - } ·

l+Vi

Resp. t-tn¡..¡; - et fce ( v'F)

151. Demostrar que
111 (-l)"(t-n)"
n.

~

n=O

'

donde [t] denota el mayor entero menor o igual a t.

152. Demostrar que .e-l {

~ J0

(.:a)}

,,
1 -

(11)3

+

(2!)3•

i

\

(3"!)3

+

~

77

Capítulo

3

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales
con coeficientes constantes. Supongamos, por ejemplo, que queremos resolver la ecuación diferencial de segundo orden
d 2Y
dt'

dY

+ "Tt +

(3Y

=

F(t)

o sea

Y"+ aY' + (3Y

=

F(t)

(1}

donde a y {3 son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera

Y(O) = A,

Y'(O)

=

B

(2)

donde A y B son constantes dadas. Tomando la transformada de La place a cada lado de ( 1)
y usando (2), obtenemos una ecuación algebraica para determinar J:.. !Y(t)l =y(.~)- La
solución requerida se obtiene al calcular latransformada inversa de Laplace de y(s). Este
método se. puede extender fácilmente a ecuaciones diferenciales de orden superior. Véanse
los problemas 1-8.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTESIVARIABLES
La transformada de Laplace puede utilizarse también para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyos coeficientes son variables. Una ecuación especial enla
cual el método resulta particularmente útil es aquella en la cual cada uno de sus términos es
de la forma
(.3)
tm Y'''(l)
cuya transformada de Laplace es

(4)
Véanse los teoremas 1-10 de la página 4 y 1-12 de la página 5.
Para los detalles de la solución véanse los problemas 9-11.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SIMULTANEAS
La transformada de Laplace puede usarse también pararesolver dos o más ecuaciones
diferenciales simultáneas. El procedimiento es esencialmente el mismo que el descrito anteriormente. Véanse los problemas 12 y 13.

78

•

CAP. 3]

APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

79

APLICACIONES A LA MECANICA
Po&ición de

Supongamos que una masa m está adherida a un resorte flexible fijado a un punto O, y
la cual tiene la libertad de...