Lineal

USACH – Álgebra 2005

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación

Ejercicios Resueltos de Transformaciones Lineales

1). Si V1 =(1,-1) , V2 = (2,-1), V3=(-3,2) y W1=(1,0), W2=(0,-1), W3=(1,1). ¿Existe una transformación lineal T: R2 à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1,2,3 ? Solución: Si { v1, v2 , v3 }es base de R2, entoncesexiste una única transformación lineal T: R2 à R Pero: (-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1) ⇒ { v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente ⇒ { v1, v2 , v3 }no es base de R2 ⇒ no existe tal transformaciónlineal 2) . Sea T: R3 à R3 , transformacion lineal , tal que : T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) = ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1) Encontrar T (x,y,z) Solución: Por demostrar que el conjunto {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3 Sea a.b.c ∈ R, tal que . a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0) a+b=0 a+c=0 a+b+c=0 ⇒

a =b=c=0

Luego {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Idependiente Sea(x,y,z) ∈ R3 , entonces existen escalares a,b,c ∈ R tal que: a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z) a+b=x a+c=y a+b+c=z ⇒ a=x+y-z ; b=z-y;

c=z-x

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Luego{(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es base de R3 Existe una única T transformación lineal de R3 en R3 tal que : T(1,1,1) = (1,0,2) , T(1,0,1) = (0,1,1) , T(0,1,1) = (1,0,1) T(x,y,z) = T(a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(0,1,1)) T(x,y,z) =aT(1,1,1) + bT(1,0,1) + cT(0,1,1) T(x,y,z) = (x+y-z)T(1,1,1) + (z-y)T(1,0,1) + (z-x)T(0,1,1) T(x,y,z) = (x+y-z)(1,0,2) + (z-y)(0,1,1) + (z-x)(1,0,1) T(x,y,z) = (y , z-y , x+y) 3) .Sea T: R2àRtransformación lineal definida por T (x,y,z) = 2x -3y +z α a) Encontrar T ]β donde β = { (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y α ={2} b) Encontrar kernel (T), Imagen (T), Nulidad(T) y Rango (T)

[

Solución: a) T(1,0,0) = 2 = 1(2) T(1,0,0) = 2-3 = -1 = -1/2 (2) T(1,1,1) = 2-3+1 = 0 = 0(2) Luego:

[T ]

α β

= [1 − 1 / 2 0]

b) Kernel (T) = { (x,y,z) ∈ R3 / T(x,y,z) = 0 } Kernel (T) = { (x,y,z) ∈ R3 /...