Linealizacion De Sistemas No Lineales

PROBLEMA 1
Linealizar cada uno de los siguientes ecuaciones
A) dy(t)dt2+5dytdt.yt+y=du(t)dtcosut+u2t
B) dy(t)dt+5y=du(t)dt+u+1
Se pide linealizarlo en torno del punto de funcionamiento u0=π4
Solución de A
dy(t)dt2+5dytdt.yt+y=du(t)dtcosut+u2t
Primero procederemos a calcular el punto de equilibrio, donde las variables que definenel comportamiento del sistema no sufren variaciones por lo que sus derivadas se anulan.
Ósea tenemos que dy(t)dx=0 ; du(t)dt=0
En el equilibrio la ecuación que caracteriza al sistema es:

y0=u02→ y0=π216 Cuando dy(0)dx=0 ; du(0)dt=0 ;u0=π4
Además sabemos que
dydt-dy0dt=Δy’ ;y-y0=Δy , dudt-du0dt=Δu’ ;u-u(0)=Δu
Desarrollando por la serie deTaylor y trabajando solo con los términos lineales obtenemos lo siguiente
dy0dt+2dy0dty-y0+5y(0)dy0dt)+5dy0dt.(y-y(0))+5y(0)(dydt-dy0dt)+y(0)+10.(y-y(0))=du0dtcosu0+cosu0.(dydt-dy0dt)-dy0dtsenu0.(u-u(0)+u20+2u0.(u-u(0))
Agrupando tenemos las siguientes ecuaciones

Remplazando nuestros valores y los términos independientes se anulan
Finalmente la Ecuación linealizada será:
5π216Δy’+Δy=22Δu’+π2Δu

Solución de B
dy(t)dt+5y=du(t)dt+u+1
Primero procederemos a calcular el punto de equilibrio, donde las variables que definen el comportamiento del sistema no sufren variaciones por lo que sus derivadas se anulan.
Ósea tenemos que dy(t)dx=0 ; du(t)dt=0
En el equilibrio la ecuación que caracteriza al sistema es:

5y0=u0+1 → y0=π4+15 Cuando dy(0)dx=0; du(0)dt=0 ;u0=π4
Además sabemos que
dydt-dy0dt=Δy’ ;y-y0=Δy , dudt-du0dt=Δu’ ;u-u(0)=Δu
Desarrollando por la serie de Taylor y trabajando solo con los términos lineales obtenemos lo siguiente
dy0dt+10dydt-dy0dt+5y0+50.y-y0=3du0dt+30.(dudt-du0dt)+u0+10.dudt-du0dt)+1
Agrupando tenemos las siguientes ecuaciones y remplazando por
dydt-dy0dt=Δy’ ;y-y0=Δy , dudt-du0dt=Δu’;u-u(0)=Δu

Los términos independientes se anulan
Finalmente la Ecuación linealizada será:
Δy’+5Δy=3Δu’+Δu

SOLUCION 2:
Primero se calculara los puntos de equilibrio:
Para la primera ecuación: dy(t)dt=mt-p(t)….A
mt+3dmtdt=4.sen(xt-c(t))……B
C(t)=y(t)…….C
Primero procederemos a calcular el punto de equilibrio, donde las variables que definen el comportamiento del sistema no sufrenvariaciones por lo que sus derivadas se anulan.
Reemplazando los datos del problema:
* m0=2….punto de equilibrio de la primera ecuacion…A
sin(x0-c0)= 12 :x0-c0= sin-1 (12)
i) x0-c0 = π6 + 2kπ
ii ) x0-c0 = 5π6 + 2kπ, Se tomara (ii) por ser la más lógica (c0 debe ser positivo)
* c0=1- π6……punto de equilibrio de la segunda ecuacion…B
* y0= c02=1- π62……punto deequilibrio de la tercera ecuacion…C
Mediante series de Taylor linealizaremos las ecuaciones (A,B,C)
Linealizacion de A
dy(t)dt= dy(t0)dt +( dmdt(t- t0) + 12ᴉd2mdt2t- t0² + …….)-(dpdt(t- t0) + 12ᴉd2pdt2t- t0² + …….)
d△y(t)dt= △m+△p…A ecuacion linealizada
Linealizacion de B
mt+3dm(t)dt=4sin(xt- ct):
mt+3dm(t)dt =mt0+3dm(t0)dt + ddt{4sin(xt- ct)}(t- t0) +
+12ᴉd²dt²{4sin(xt- ct)}(t- t0)² + …..△mt+3d△m(t)dt =4cos(xt- ct)(dxdt- dcdt)(t- t0)
△mt+3d△mtdt =4 cosx0-c0(△x- △c)
△mt+3d△mtdt =4 cosx0-c0△x- 4 cosx0-c0△c

Reemplazando:
△mt+3d△mtdt =4 cos1-(1-π6)△x- 4 cos1-(1-π6)△c
△mt+3d△mtdt =23△x- 23△c….B ecuación linealizada
Linealizacion de C
C (t) = y(t)
C (t) = y(t)²
C (t) = C (t0) + dy1/2dt(t- t0) + 12ᴉd2y1/2dt2t- t0² +……
△C = 12ydydt(t- t0)
Reemplazando:
△C = 12y0△y
△C =12(1-π6)△y….C ecuación linealizada.

PREGUNTA3
Dado el sistema:
dy(t)dt+ut.yt=u2t+5
Se pide linealizarlo en torno del punto de funcionamiento.
a) u0=10
b) u0=2
Dibujar con detalle yt cuando utvaría bruscamente.
a) De 10 a 11 unidades.
b) De 2 a 3 unidades.
¿En cual de los puntos de funcionamiento se aproxima mejor el sistema linealizado al real?
Solución....