Lineas de influencia

L´ INEAS DE INFLUENCIA
1 Introducci´n o
El concepto de la l´ ınea de influencia es util para establecer las condiciones m´s desfavorables de ´ a solicitaci´n en estructuras que presentan un comportamiento lineal y soportan cargas m´viles, por o o ejemplo puentes. Una carga m´vil produce distintos efectos como ser: reacciones, esfuerzos internos (Mf , Mt , N, Q), o desplazamientos, etc. El efectoconsiderado en cada caso se designa ”Inc´gnita” X. En el caso lineal es suficiente determinar o el valor de i (x) de la misma para una carga unitaria 1 (x) actuando en la posici´n gen´rica definida o e por la coordenada x. El valor de la inc´gnita producida por una carga m´vil P actuando en x es: o o X(x) = P i(x) (1)

Donde: X(x) : valor de la inc´gnita X producido por la carga P acutuando en x.o i(x) : coeficiente de influencia que depende de la coordenada x. Se denomina l´ ınea de influencia de una inc´gnita X al diagrama cuyas ordenadas η (x) en una cierta o escala repesentan al coeficiente de influencia definido en (1). La l´ ınea de influencia es una representaci´n o gr´fica de la ”influencia” variable i (x) seg´n la posici´n de la carga P. a u o En el curso de Est´tica se estudian las l´ aıneas de influencia para reacciones y esfuerzos internos en estructuras isost´ticas. Aplicando el pricipio de Trabajos Virtuales se puede demostrar que el diagrama a de desplazamientos verticales es igual a la l´ ınea de influencia en una cierta escala. En el presente cap´ ıtulo se extiende el concepto de l´ ıneas de influencia al caso de estructuras deformables, en general hiperest´ticas. Secomienza determinando las l´ a ıneas de influencia de desplazamientos y giros, y se contin´a con las l´ u ıneas de influencia de esfuerzos internos y reacciones en sistemas hiperest´ticos. a

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Teorema de Reciprocidad para s´lidos linealmente el´sticos o a

El Teorema de Reciprocidad, que es sumamente util desde el punto de vista conceptual y pr´ctico, ´ a surge como corolario del principio deTrabajos Virtuales (T.V.) aplicado a s´lidos linealmente el´sticos. o a A continuaci´n se demuestra este teorema para el caso de una viga simple. o I I I Sup´ngase un estado de cargas I, asociado a las cargas P1 , P2 , ..., Pn , para el cual se determina el o II II II estado de solicitaciones internas y reacciones, y otro estado II asociado a otras cargas P1 , P2 , ..., Pn .

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Aplicando laecuaci´n de T.V. para el estado I y tomando como desplazamiento virtual el desplazao miento el´stico provocado por las fuerzas del estado II se obtiene: a
n II PiI δi − i=1

M I χII dx +

QI γ II dx = 0

(2)

Trabajo fuerzas externas

Trabajo fuerzas Internas

II N´tese que los desplazamientos δi son causados por las cargas PjII pero se refieren al punto de o I . Rec´ aplicaci´n de lascargas Pi o ıprocamente, se puede plantear: m I PjII δj − j=1

M II χI dx +

QII γ I dx = 0

(3)

Suponiendo proporcionalidad entre tensi´n y deformaci´n: o o χI = χII =
1 EI 1 EI

MI M II

γI = γ II =

1 AcG 1 AcG

QI QII

Reemplazando estas expresiones en (2) y (3) y restando miembro a miembro se obtiene:
n II PiI δi − i=1 j=1 m I PjII δj = 0

∴

n I II i=1 Pi δi

=

mII I j=1 Pj δj

(4)

El Teorema de Reciprocidad se sintetiza en la expresi´n (4) que expresa que el trabajo de las fuerzas o del estado I a trav´s de los desplazamientos de sus puntos de aplicaci´n en el estado II es igual al e o trabajo de las fuerzas del estado II a trav´s de los desplazamientos en el estado I. e Es importante destacar que el teorema de reciprocidad es s´lo v´lido parasistemas lineales, mientras o a que el principio de T.V. es aplicable a cualquier sistema de fuerzas en equilibrio. Entre las aplicaciones del teorema de reciprocidad para sistemas linealmente el´sticos se destacan dos: a i) Probar la simetr´ de la matriz de Flexibilidad en el m´todo de las Fuerzas, y de la matriz de ıa e Rigidez en el m´todo de los Desplazamientos. e ii) Trazado de l´ ıneas de...