llenura

P
(de curvas y superficies)
M´  C C
ı

I. Curvas
Una parametrizaci´ n de una curva C es una funci´ n vectorial
o
o
c : I ⊂ R −→ Rn
con la propiedad que —al variar el par´ metro t ∈ I— su imagen c(t) va describiendo los puntos
a
de C.
Una interpretaci´ n f´sica habitual es pensar que el par´ metro t representa al tiempo y que c(t)
o ı
a
indica en qu´posici´ n del plano o del espacio se encuentra una part´cula en el instante t.
e
o
ı
Se presentan a continuaci´ n una serie de ejemplos con la intenci´ n de aportar ideas y m´ todos
o
o
e
para describir param´ tricamente a ciertas curvas.
e
1. C 1 :

y=2

en

R2

Los puntos de C1 son de la forma
(x, 2)
Cada valor de x produce un punto sobre la recta C1 . Es decir, la funci´ n
oc1 : R −→ R2
c1 (x) = (x, 2)
es una parametrizaci´ n de C1 .
o

2

MARIA DEL CARMEN CALVO


3x − y − z = 1



2. C 2 : 

x + y = 2


en

R3

C2 es una recta en R3 , la intersecci´ n de los planos
o
π1 : 3x − y − z = 1

y

π2 : x + y = 2

Despejamos y de la ecuaci´ n de π2 :
o
y=2−x
y lo reemplazamos en la ecuaci´ n de π1
o
3x − (2 − x) − z = 1

3x− 2 + x − z = 1
4x − z = 3
De aqu´ obtenemos que
ı
z = 4x − 3
Luego, los puntos de C2 son los (x, y, z) tales que
y=2−x

y

z = 4x − 3

con lo cual
(x, y, z) = (x, 2 − x, 4x − 3)
= (0, 2, −3) + (x, −x, 4x)
= (0, 2, −3) + x(1, −1, 4)
es decir, C2 es la recta dirigida por el vector (1, −1, 4) que pasa por el punto (0, 2, −3).
Una parametrizaci´ n de C2 es entonces
o
c2 : R −→ R3
c2(x) = (x, 2 − x, 4x − 3)

3

FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA — UCA — MATEMATICA III — 2006

z

y
x

3. C 3 :

x 2 + y2 = 1

en

R2

Una parametrizaci´ n de esta circunferencia es la funci´ n
o
o
c3 : [0, 2π] −→ R2
c3 (t) = (cos t, sen t)
´
El par´ metro t representa en este caso el angulo que forma el vector de origen (0, 0) y extremo
a
(x, y) conel semieje positivo de las abscisas.

4

MARIA DEL CARMEN CALVO

4. C 4 :

x 2 y2
+ =1
9
4

en

R2

Para hallar una parametrizaci´ n de esta elipse notemos que su ecuaci´ n se puede escribir en
o
o
la forma
y 2
x 2
+
=1
3
2
x y
lo que significa que un punto (x, y) ∈ C4 si y s´ lo si ( 3 , 2 ) ∈ C3 . Pero en tal caso,
o

x
= cos t
3

y
= sen t
2

e

para un t∈ [0, 2π].
Despejando x e y obtenemos una parametrizaci´ n de esta elipse
o
c4 : [0, 2π] −→ R2
c4 (t) = (3 cos t, 2 sen t)
Conviene observar que, como se ve en el gr´ fico, ahora t ya no tiene la misma interpretaci´ n
a
o
que en el caso anterior.

5. C 5 :

(x − 2)2 (y + 3)2
+
=1
9
4

R2

en

Comencemos por notar que (x, y) ∈ C5 si y s´ lo si (x − 2, y + 3) ∈ C4 . Luego, paracada
o
(x, y) ∈ C5 habr´ un t ∈ [0, 2π] tal que
a
x−2
= cos t
3

e

y+3
= sen t
2

FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA — UCA — MATEMATICA III — 2006

5

De modo que una parametrizaci´ n de esta elipse est´ dada por
o
a
c5 : [0, 2π] −→ R2
c5 (t) = (3 cos t + 2, 2 sen t − 3)

6. C 6 :

x 2 − y2 = 1

en

R2

En primer lugar vamos a parametrizar larama derecha de esta hip´ rbola, llamada hip´ rbola
e
e
equil´ tera. A partir de esa trayectoria construiremos luego –por simetr´a respecto del eje y–
a
ı
la parametrizaci´ n de la rama izquierda.
o
Sobre la rama derecha es x

1; luego, podemos despejarla de la ecuaci´ n
o
x=

y2 + 1

Esto ya nos dar´a una forma describir param´ tricamente los puntos de C6 mediante la funci´ n
ı
eo
d(y) = ( y2 + 1, y)
definida en R. Pero vamos a encontrar otra parametrizaci´ n utilizando las funciones hiperb´ licas
o
o
de manera an´ loga a lo hecho con la circunferencia y las funciones trigonom´ tricas.
a
e
Recordemos que la funci´ n senh t es biyectiva entre R y R, derivable y su inversa –argsenh–
o
tiene estas mismas propiedades

6

MARIA DEL CARMEN CALVO

senh...