Logaritmo
Páginas: 2 (371 palabras)
Publicado: 13 de junio de 2012
Logaritmo natural
El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos.
En matemáticas se denomina logaritmo natural oinformalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar como ln(x) oa veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número epara obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquiernúmero real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta base concreta.[2] Estadefinición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:
y corresponde a la función inversa dela función exponencial:
El logaritmo natural es un función analítica, por tanto puede representarse como una serie de Taylor centrada en algún punto de su dominio. Puesto que la primera derivadadel logaritmo natural (1/x) evaluada en cero no existe, su serie de Taylor se suele centrar en uno, para luego hacer un cambio de variable y centrarla en cero. De esta manera, se obtiene la serie deTaylor del logaritmo natural
que se conoce como serie de Mercator.
Utilizando la identidad funcional
y sustituyendo en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguienteserie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:
Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para...
El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos.
En matemáticas se denomina logaritmo natural oinformalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar como ln(x) oa veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número epara obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquiernúmero real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta base concreta.[2] Estadefinición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:
y corresponde a la función inversa dela función exponencial:
El logaritmo natural es un función analítica, por tanto puede representarse como una serie de Taylor centrada en algún punto de su dominio. Puesto que la primera derivadadel logaritmo natural (1/x) evaluada en cero no existe, su serie de Taylor se suele centrar en uno, para luego hacer un cambio de variable y centrarla en cero. De esta manera, se obtiene la serie deTaylor del logaritmo natural
que se conoce como serie de Mercator.
Utilizando la identidad funcional
y sustituyendo en la serie de Taylor del arcotangente hiperbólico se obtiene la siguienteserie, cuya convergencia es más rápida que la anterior y es válida para valores positivos de x:
Aplicando una trasformación binomial a la serie de Taylor se obtiene esta segunda serie, válida para...
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