Logaritmos

LOGARITMOS

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a  0; a  1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N  0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
 
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
 
logaN = x
 y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
 
Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
 
Notación logarítmica Notación exponencial

 

 

 
 
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0:loga 1 = 0, ya que a0 = 1
 
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a
 
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
 
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
 
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que1, estrictamente, 0 1) tienen logaritmo positivo.
 
 La función es creciente.
 
 
 
 
B) Función logarítmica de base menor que 1:
 
a < 1
 
En la representación gráfica se observa que:
 El logaritmo de 1 es cero: loga 1 = 0.
 
 El logaritmo de la base es la unidad:
loga a = 1.
 
 Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmopositivo.
 
 Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo negativo.
 
 La función es decreciente.
 
 
 
 
Ejercicio:
 Representar gráficamente la función y = log2 x.
 
Resolución:
Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:
 
x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
  
 Representar gráficamente la función y = log1 / 2 x.
 
Resolución:
Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:
 
x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
 
 Representar en unos mismos ejes de coordenadas las funciones
 
y = log2 x y = ln x y=log10 x.

FUNCIÓNEXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
 


 
Esta función se escribe también como f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
 
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
 

 

 
Ejemplos de funcionesexponenciales
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores
 

 

 


 

 

 
Propiedades de la función exponencial y = ax
 
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
 
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
 
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
 
Estoes debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
 
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
 
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a 1
En este caso, para x = 0, y = a0 = 1
para x = 1, y = a1 = a
para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva. 
Como caso particular se representa la función y = 2x.
 
 
 
 
B) a < 1
Para x = 0, y = a0 = 1
Para x = 1, y = a1 = a
Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.
 

 
RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con:...