Los diez principios de la economia

práctica domiciliaria
I. Método del punto fijo

1. Determine rigurosamente si cada función tiene un único punto fijo en el intervalo dado:
a. g(x) = 1 - x22 en [0; 1]
b. g(x) = 2-x en [0; 1]
c. g(x) = 1x en [0:5; 5:2]
DESARROLLO:
a. g(x) = 1 - x22 en [0; 1]
Usando el teorema tenemos:
* g(x) es continua
* 0≤x≤1 12≤1-x22≤112≤gx≤1g(0,1)⊂0,1∴ El punto fijo es único ∀ x∈ 0,1
* g'x=-x
0≤x≤1
-1≤-x≤0
g'(x)≠1

a.
b. gx=2-x 0,1
Usando el teorema tenemos:
* g(x) es continua
0≤x≤112≤2-x≤112≤gx≤1gx⊂ 0,1 ∴ El punto fijo es único ∀ x∈ 0,1
* g'x=-2-xln2
0≤x≤1
-ln2≤g'x≤-ln22
g'(x)≠1
c. gx=1x 0.5 , 5.2
Usando el teorema
* g(x) es continua en 0.5 , 5.2* 0.5≤x≤5.20.18≤1x≤20.19≤gx≤2
Como no está incluido en 0.5 , 5.2
∴ No tiene un punto fijo en dicho intervalo
2. Para la siguiente función:
g(x) = -4 + 4x - 12x2
a. Resuelva g(x) = x y muestre que P = 2 y P = 4 son puntos fijos.
b. Use el valor p0 = 1.9 y calcule p1, p2, p3.
c. Use el valor p0 = 3.8 y calcule p1, p2, p3.
d. Encuentre los errores absoluto yrelativo para pk en las partes (b) y (c).
DESARROLLO
a. Haciendo gx=x
-4+4x-12x2=x → 12x2-3x+4=0
Resolviendo: x1=2
x2=4
∴P=2 y P=4 son puntos fijos

b. Empleando el algoritmo: xn+1=fxn , en otra notación Pn=gPn
P1=gP0→P1=g1.9→P1=1.795
P2=gP1→P2=g1.795→P2=1.568
P3=gP2→P3=g1.568→P3=1.042
c. Empleando el algoritmo: Pn+1= g(Pn)
P1=gP0→P1=g3.8→P1=3.8P2=gP1→P2=g3.98→P2=3.9998
P3=gP2→P3=g3.9998→P3=3.9999

d. :
* Error absoluto para b:
E1=P0-P1=0.105
E2=P0-P2=0.332
E1=P0-P3=0.858
Error relativo para b:
S1=0.1051.9=0.05526
S2=0.3321.9=0.1747
S3=0.8581.9=0.4515

* Error absoluto para c:
* E1=P0-P1=0.18
* E2=P0-P2=0.1998
* E1=P0-P3=0.1999
Error relativo para c:
* S1=0.183.8=0.04736
* S2=0.19983.8=0.0527* S3=0.19993.8=0.0526
II. Método de bisección

2. Comience con [a0; b0] y calcule c0; c1; c2 y c3

a. ex-2-x; a0; b0= -2.4;-1.6

n | an | f(an) | bn | f(bn) | xn+1 | f(xn+1) |
0 | -2.4 | 0.4907 | -1.6 | -0.1981 | -2 | 0.1353 |
1 | -2 | 0.1353 | -1.6 | -0.1981 | -1.8 | -0.0347 |
2 | -2 | 0.1353 | -1.8 | -0.0347 | -1.9 | 0.0495 |
3 | -1.9 | 0.0495 | -1.8 | -0.0347| -1.85 | -0.9987 |

b. cosx+1-x; a0; b0= 0.8;1.6

n | an | f(an) | bn | f(bn) | xn+1 | f(xn+1) |
0 | 0.8 | 0.8967 | 1.6 | -0.6291 | 1.2 | 0.16235 |
1 | 1.2 | 0.16235 | 1.6 | -0.6291 | 1.4 | -0.2300 |
2 | 1.2 | 0.16235 | 1.4 | -0.2300 | 1.3 | -0.0325 |
3 | 1.2 | 0.16235 | 1.3 | -0.0325 | 1.25 | 0.0653 |
Observación: al evaluar 0.8 y 1.6 en cosx se considera en radianes.

c.lnx-5+x; a0; b0= 3.2; 4.0

n | an | f(an) | bn | f(bn) | xn+1 | f(xn+1) |
0 | 3.2 | -0.6368 | 4 | 0.3862 | 3.6 | -0.1190 |
1 | 3.6 | -0.1190 | 4 | 0.3862 | 3.8 | 0.1350 |
2 | 3.6 | -0.1190 | 3.8 | 0.1350 | 3.7 | 0.00833 |
3 | 3.6 | -0.1190 | 3.7 | 0.00833 | 3.65 | -0.05527 |

d. x2-10x+23; [a0; b0] = [6.0; 6.8]

n | an | f(an) | bn | f(bn) | xn+1 | f(xn+1) |
0 | 6 | -1 | 6.8| 1.24 | 6.4 | -0.04 |
1 | 6.4 | -0.04 | 6.8 | 1.24 | 6.6 | 0.56 |
2 | 6.4 | -0.04 | 6.6 | 0.56 | 6.5 | 0.25 |
3 | 6.4 | -0.04 | 6.5 | 0.25 | 6.45 | 0.1025 |
III. Método de Newton

3. Para todas las funciones encuentre la formula pk=g(pk-1)

a. fx=x2-x+2, comience con p0 = -1.5 y calcule p1; p2; p3

f'x=2x-1
Pk=Pk-1-Pk2-Pk-1+22Pk-1-1
P1=P0-P02-P0+22P0-1→P1=-0.678De forma análoga
P2=0.6537 y P3=-5.1160

b. fx=x2-x-3, comience con p0 = -1.6 y calcule p1; p2; p3. Luego comience con p0 =0.0 y calcule p1; p2; p3 y p4. ¿qué puede decir de esta sucesión?

f'x=2x-1
Pk=Pk-1-Pk2-Pk-1-32Pk-1-1
P1=P0-P02-P0-32P0-1→P1=-1.323
De forma análoga
P2=-1.302 y P3=-1.323
Ahora comenzando con P0=0.0
P1=-3
P2=-1.714
P3=-1.340
P4=-1.303

Esta...