Los numeros imaginarios

Los números imaginarios
¿Qué da origen a nuestro sistema de números?
Las distintas necesidades permiteron su desarrollo, es decir los números naturales para contar, los números racionales paraexpresar partes fraccionarias y razones. Los números negativos para expresar pérdidas, débitos y temperaturas bajo cero. Cuando se observó que no se podia expresar un tamaño exacto con un número racionalaparecieron los números irracionales. Luego el conjunto de los números racionales en unión a los números irracionales formaron el conjunto de números reales. Más tarde surgió la necesidad de expandirel sistema de números reales con el conjunto de los números complejos.
En la resolución de algunos problemas (como algunas ecuaciones de segundo grado) pueden aparecer raíces cuadradas de númerosnegativos, algo que no tiene sentido dentro del campo de los números reales. Para solucionar este inconveniente se idearon los números complejos.
La raíz recibe el nombre de unidad imaginaria y seacostumbra a representar con la letra i. Toda expresión del tipo donde n es par y -a es un número real negativo, es una cantidad imaginaria pura.
Toda raíz imaginaria puede expresarse como producto deun número real por la unidad imaginaria. Así, por ejemplo, .
Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria van repitiéndose periódicamente.
En efecto,y así sucesivamente.
Calculo de las potencias de la unidad imaginaria
Para calcular cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de lapotencia equivalente a la dada. Así, por ejemplo, si queremos calcular el valor de podemos hacer lo siguiente:
Dividimos 27 entre 4 y tomamos el resto que es 3. Por tanto, fórmula, y observando lasuseción anterior, como , podemos escribir: (la prueba es la siguiente: fórmula; por tanto: fórmula, donde hemos aplicado varias propiedades de las potencias). |
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