números imaginarios

Forma trigonométrica y forma módulo-argumental de un complejo
 
Al representar un número complejo como un vector en la forma ya descrita, éste viene definido de manera única por dos valores: sumódulo y el ángulo  formado por el eje positivo de abscisas con el vector. Este ángulo recibe el nombre de argumento del número complejo.
 
Dado un complejo z = a + bi en su forma binómica yllamando a su módulo y  a su argumento, se tienen las siguientes relaciones:
 

 
Despejando a y b en estas igualdades, a = cos  y b = sen 
 
 
De ahí se tiene que:
 a + bi = cos  + sen i = ( cos  + i sen )
 

Cualquier número complejo z puede representarse así como una expresión de la forma ( cos  + i sen ).
Esta manera deescribir un número complejo recibe el nombre de forma trigonométrica.
 
En muchos casos se escribe simplemente el módulo, y el argumento como subíndice. Así se podría escribir , en lugar de escribir laforma trigonométrica completa ( cos  + i sen ).
 
Esta manera de expresar un número complejo se llama forma módulo argumental o polar.
 
Nótese que si al argumento de un número complejo esincrementado en 360º, al no variar el seno ni el coseno de dicho ángulo, el número complejo definido no varía.
 
 
Cálculo de módulo y argumento de un complejo
 
Para calcular el argumento deun número complejo z = a + bi , basta con tener en cuenta que:
 
a = |z|·cos 
b = |z|·sen 
 
Dividiendo estas dos igualdades,
 

 

 
Entre 0º y 360º hay, engeneral, dos ángulos cuya tangente toma ese valor. Para decidirse entre ellos es preciso fijarse en qué cuadrante se encuentra el complejo en cuestión.
 
Para calcular el módulo se suman loscuadrados de las dos igualdades obtenidas:
 
a2 + b2 = |z| cos  + |z|2 sen  =
= |z|2 (cos  + sen ) = |z|2 

 
 
Ejercicio:
 Escribir en forma...