los numeros matematicos

NUMEROS NATURALES
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea esque se pueda contar haciendo una bisección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjuntoque contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada ,
2. La relación es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que seael representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n + . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientesexpresiones:


De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
• Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
• y en general




Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos delconjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de a.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo si .
Ésa es laconstrucción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjuntoinductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:


Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a losnaturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones


Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R BExiste una aplicación biyectiva de A sobre B, es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales. Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el...