Los puntos criticos

¿Los puntos criticos de una función? son aquellos en los que su derivada primera no existe, o es igual a cero. Que no exista la derivada en un punto significa que no se puede trazar la recta tangente a la funcion en ese punto. Y que valga cero significa que la recta tangente es horizontal. Entonces hay que calcular la derivada f´(x), y ver para que puntos no existe, y para cuales se hace cero, yestos seran los puntos criticos de f(x). 
Punto crítico de una función real de variable real
    Descripción: 
Dada una función real de variable real, \(f:{ A\subseteq \Re}\longrightarrow \Re \),
Diferenciable (derivable), siendo \(A\) un conjunto abierto de \({ \Re  }\), decimos que \(a\in A\)
es un punto crítico de \(f\) si cumple \( f'(a)=0\), es decir, la derivada de \(f\) en el punto \(a\inA\)
se anula.
Descriptores: Óptimos  
Descriptores: Funciones reales de una variable  
Descriptores: Funciones    
Ejemplo: 
Dada la función real de variable real, \(f:{ A\subseteq \Re  }\longrightarrow \Re \), definida por
\(y=f(x)=2x^2-3\). Ver que tiene un punto crítico en \(a=0\)
Calculamos la función derivada de \(f\) y su valor en \(a=0\)
\(y'=f'(x)=2x\Rightarrow f'(0)=2·0=0\)
Elpunto \(a=0\) es un punto crítico

Ejemplo,

Vamos hombre, que es una funcion polinomica muy sencilla, tienes que hallar los puntos en que su vector gradiente es el 0 de IR² 
[∇f(x,y) = (0,0)] 

(3x²-12, 3y²-48) = (0,0) 

3x²=12; x = ± 2 
3y²=48; y = ±16 

Entonces tienes 4 puntos criticos: (2,16),(2,-16),(-2,16),(-2,-16) 

Ahora es cuestion de hallar la hessiana (que es simetrica en este caso trivial defuncion polinomica) que ademas te queda con dos ceros en la diagonal secundaria, por lo que ya la tienes diagonalizada y puedes ver el caracter de los puntos sin mayor problema.

Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f es una función dada, entonces  es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto  tal que  y  para , siendo x un valor del dominio de la función. 

Si  paratoda x en el dominio de f, entonces  es el valor máximode f o máximo absoluto. 

Similarmente,  es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto  tal que  y  para , con x en el dominio de f. 

Si  para toda x en el dominio de f, entonces se dice que  es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto. 

Ejemplo:

Considere una función f definida en unintervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:
 
 
 
Note que , es un máximo relativo y  es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.

Similarmente,  es un valor mínimo relativo y  es el mínimo absoluto de la función en . 
 
Teorema 2
  
Sea c un punto interior del dominio de una función f. 
Si  es un valor máximo relativo de f y si existe  entonces . Prueba: al final del capítulo.

Ejemplo: 
Considere la función f definida por

 

Su representación gráfica es la siguiente:

 
Puede observarse que cuando x toma el valor de  entonces la función tiene un valor máximo. En este caso  es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: . 

Según el teorema anterior debe cumplirse que  es igual a cero. 

En efecto, como , al sustituir x por -2 se obtieneque, que era lo que quería comprobarse. 

 
Teorema 3

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si  es un valor mínimo  relativo de f y si  existe, entonces . 

La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo: 
 
Considere la función f definida por:



Su representación gráfica es la siguiente:

 
Note que la función f tiene un valor mínimo en  dado por . El punto  esel vértice de la parábola con ecuación . 

De acuerdo con el teorema  debe cumplirse que  sea igual a cero. 

Como  entonces  y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo. 

Observación:
El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que  sea igual a cero, no implica que en  exista un máximo o un mínimo. 

Por ejemplo, para la función f con ecuación , se...