Lugar geométrico de la raiz

Lugar geométrico de las raíces
 
Conceptos
Supongamos tener el sistema de la siguiente figura, donde KA es la ganancia de nuestro controlador, el cual puede ser elegido por el diseñador.
 

Figura 1. Esquema de un sistema controlado con retroalimentación.
 
La función de transferencia de este sistema es:
 
                   Ec. [1]
 
Los polos de esta función de transferencia estarándados por las raíces de la ecuación característica: .
Dependiendo de la ganancia KA que elija el diseñador, será la respuesta dinámica que tendrá el sistema retroalimentado (la ubicación de los polos depende de esta ganancia).
Evans propuso que el diseñador del sistema de control construya el lugar geométrico de todas las raíces posibles de la ecuación  a medida que KA varía desde 0 a infinito.De esta manera podemos elegir adecuadamente la ganancia KA y ver los efectos de polos y ceros adicionales.
Tenemos que la función de transferencia de la planta es:
 
            Ec. [2]
 
donde a(s) y b(s) son polinomios de grado n y m respectivamente, y n  m.
Estos polinomios los podemos escribir de las siguientes maneras:
 
                               Ec. [3]                             Ec. [4]
 
Llamemos K a: K = KA . Kp.
Entonces la ecuación característica la podemos escribir de las siguientes maneras:
 
                                   Ec. [5]
 
                                   Ec. [6]
 
                               Ec. [7]
 
                                         Ec. [8]
 
Consideraremos primeramente el caso en que K es positivo.
El grado de la ecuación característicaes el grado mayor de los dos polinomios a(s) y b(s) (observando la ecuación 7), y por lo tanto es de grado n. Esto significa que el número de ramas del lugar geométrico de las raíces estará dado por n el grado del polinomio denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
De la ecuación 7 también podemos decir que para K = 0, las raíces de la ecuación característica estará dada por lospolos de la función de transferencia a lazo abierto (las raíces de a(s)); y que para K infinito, las raíces de la ecuación característica estará dada por los ceros de la función de transferencia a lazo abierto (las raíces de b(s)).
Conclusión: existirán n ramas en el lugar geométrico de las raíces que partirán de los polos a lazo abierto y terminarán en los ceros a lazo abierto.
 
Pautas para eltrazado de un lugar geométrico de las raíces:
Definición I:
El lugar geométrico de las raíces, es el lugar geométrico de valores de s para el cual 1 + K.G(s) = 0 se cumple, ya que el parámetro K (real) varía desde cero a infinito. Por lo general, 1 + K.G(s) es el denominador de una función de transferencia de interés, de modo que las raíces en el lugar geométrico son polos en lazo cerrado delsistema.
 
Partiendo de la ecuación 8, y teniendo en cuanta que la función compleja la podemos discriminar en su magnitud y fase, y para K positivos, podemos arribar a la siguiente definición:
 
Definición II:
El lugar geométrico de las raíces de G(s) es el lugar geométrico de puntos en el plano s donde la fase de G(s) es 180.
 
Esto se lo conoce como la condición de fase, que significamatemáticamente:
             , con l entero.   Ec. [9]
 
Ejemplo:
Tenemos la siguiente función de transferencia G(s) a lazo abierto:
 

 
En la figura 2 mostramos con cruces la ubicación de los polos de esta función de transferencia, y con círculos los ceros. Suponemos un punto de prueba ubicado en so = -1 + 2.j, y realizamos la suma de las contribuciones de las fases para determinar si es ono punto del lugar de raíces:
 
= 90o - 116o.6 - 0o -76o -33o.7 = -136o.3
 

Figura 2. Punto de prueba y los ángulos formados con los polos y ceros.
 
La fase de G para este punto de prueba vale -136o.3, y no 180o (ó -180o) por lo tanto este punto de prueba no pertenece al lugar geométrico de las raíces.
 
Pasos para trazar el lugar geométrico de las raíces
PASO...