Lugares geometricos

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LUGARES GEOMÉTRICOS.
CÓNICAS

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REFLEXIONA Y RESUELVE
Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
■

Completa la siguiente tabla, en la que a es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y b el ángulo del plano π con e.
b = 90°

b>a

b=a

ba

b=a

b 5 8 r1 es exterior a C.
=

20
= 4 < 5 8 r2 y C se cortan en dos puntos.
5

25
= 5 8 r3y C son tangentes.
5

2
= 2 < 5 8 r4 y C se cortan en dos puntos.
1

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1. Halla la potencia de P (–3, 8) a las circunferencias:
C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0
C2: O (4, –3), r = 20
Di si P es interior o exterior a C1 y a C2.
C1: x 2 + y 2 – 14x + 20 = 0 8 O1 = (7, 0), r1 = √49 – 20 = √29
C2: O (4, –3), r = 20
P (–3, 8)
P (P a C1) = (7 + 3)2 + (0 – 8)2 – (√29 )2 = 100 + 64 –29 = 135 > 0 8
8 P es exterior a C1.
P (P a C2) = (4 + 3)2 + (–3 – 8)2 – (20)2 = 49 + 121 – 400 = –230 < 0 8
8 P es interior a C2.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

5

2. Halla el eje radical de estas circunferencias:
C1: x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0
C2: x 2 + y 2 – 6y = 0
Comprueba que es una recta perpendicular a la línea de sus centros.
Calculamos las potencias de un puntogenérico P (x, y) a C1 y a C2:
P (P a C1) = x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = 0 °
¢ Igualamos ambas expresiones:
P (P a C2) = x 2 + y 2 – 6y = 0
£
x 2 + y 2 – 4x + 12y – 11 = x 2 + y 2 – 6y 8 –4x + 18y – 11 = 0
Ecuación del eje radical: 4x – 18y + 11 = 0 8 m =

4
2
=
18 9

Centro de C1 8 O1 = (2, –6) ° Ä8
O O = (–2, 9) 8
Centro de C2 8 O2 = (0, 3) ¢ 1 2
£
8 La pendiente de la recta queune O1 y O2 es m' = –
Como m ·m' =

9
.
2

()( )

2
9
· –
= –1, el eje radical y la recta que une O1 y O2 son per9
2

pendiculares.

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1. Halla la ecuación de la elipse de focos F1(4, 0), F2(– 4, 0) y cuya constante es
10. Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva
al cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz,vuelve a
elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x 2 + 25y 2 = 225.
Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist (P , F1) + dist (P , F2) = 10
√(x – 4)2 + y 2 + √(x + 4)2 + y 2 = 10
√(x – 4)2 + y 2 = 10 – √(x + 4)2 + y 2
Elevamos al cuadrado: (x – 4)2 + y 2 = 100 + (x + 4)2 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2
Operamos: x 2 – 8x + 16 + y 2 = 100 + x 2 + 8x + 16 + y 2 – 20√(x + 4)2 + y 2
20 √(x + 4)2 + y 2 = 16x + 100
5 √(x + 4)2 + y 2 = 4x + 25
Elevamos al cuadrado: 25(x 2 + 8x + 16 + y 2) = 16x2 + 200x + 625
Simplificamos:
25x 2 + 200x + 400 + 25y 2 = 16x 2 + 200x + 625 8 9x 2 + 25y 2 = 225

6

Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas

UNIDAD

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2. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1(5, 0), F2(–5, 0) y cuya constante
es 6. Simplificacomo en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión
16x 2 – 9y 2 = 144.
Si P (x, y) es un punto de la hipérbola, entonces:
|dist (P , F1) – dist (P , F2)| = 6
dist (P , F1) – dist (P , F2) = ±6
√(x – 5)2 + y 2 – √(x + 5)2 + y 2 = ±6
√(x + 5)2 + y 2 = ±6 + √(x + 5)2 + y 2
Elevamos al cuadrado:
x 2 – 10x + 25 + y 2 = 36 + x 2 + 10x + 25 + y 2 ± 12 √(x + 5)2 + y 2
±12 √(x + 5)2 + y 2 =20x + 36
±3 √(x + 5)2 + y 2 = 5x + 9
Elevamos al cuadrado: 9 (x 2 + 10x + 25 + y 2) = 25x 2 + 90x + 81
9 x 2 + 90x + 225 + 9y 2 = 25x 2 + 90x + 81
16x 2 – 9y 2 = 144
3. Halla la ecuación de la parábola de foco F (–1, 0) y directriz r: x = 1. Simplifica hasta llegar a la expresión y 2 = – 4x.
Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces:
dist (P , F) = dist (P , r)
√(x + 1)2 + y 2 = |x –1|
Elevamos al cuadrado: x 2 + 2x + 1 + y 2 = x 2 – 2x + 1
Simplificamos: y 2 = –4x

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1. Una elipse tiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (–5, 0) y su constante es
k = 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.
• Semieje mayor: k = 26 8 2a = 26 8 a = 13
—
• Semidistancia focal: FF' = 10 8 2c = 10 8 c = 5
• Semieje menor: b 2 = a 2 – c...