Lyapunov Sistema no lineal


Tarea 3
Control Moderno

Análisis de estabilidad
1. Considere el sistema descrito por la siguiente ecuación:



Donde 𝑰,,,𝒎,𝒈,𝒍𝒄 son constantes y 𝝉 es el par aplicado (la señal deentrada)

A) Escriba su representación en variables de estado

Proponemos y derivamos:




Despejamos de la ecuación



Sustituimos las variables en la ecuación



Representación envariables de estado, donde



B) Proponga una función de Lyapunov para demostrar si el sistema es estable o no.

Encontrar el punto de equilibrio y la estabilidad del sistema se pone lasderivadas y la entrada igual a cero




Además se sabe que la función “sign” trabaja de la siguiente manera:

Desarrollando:


Despejando



Por lo que el punto de equilibrio resulta:Ahora proponemos la función de lyapunov



Graficación de la función propuesta de lyapunov, considerando las constantes con valor unitario.


C) Halle la derivada de la función de Lyapunov.Derivamos la función



Sustituyendo las derivadas de “x” en la ecuación anterior resulta:



Desarrollando



Nota:
Considerando las constantes mayores o iguales a cero se deduce
ymultiplicado por un -1 siempre será negativo
, sea negativo o positivo siempre dará mayor igual a cero y multiplicado por el menos uno siempre será negativo el valor.

Por lo que seconcluye el sistema es estable.

Graficación de la derivada de la función de lyapunov, considerando las constantes con valor unitario.







2. Considere el mismo sistema que en el puntoanterior y

D) Proponga un par aplicado para el sistema (para que sea estable)
E) Considere a 𝒒̃=𝒒𝒅−𝒒, donde 𝒒𝒅 es la posición deseada (una constante), represente al sistema en variables deestado como:

𝑑𝑑𝑡[𝑞̃𝑞̇]=[]
a) Hallar los puntos de equilibrio
b) Hallar una función de Lyapunov
c) Hallar la derivada de la función de Lyapunov
d) Determinar si es estable.