Lyapunov

UNR - Ingeniería

Departamento de Electrónica

Cátedra D.S.F.

Estabilidad Interna de los Sistemas No Lineales
A-702 Control I

Código: A_EstSNL

E-504 Dinámica de los Sistemas Físicos

Análisis de la Estabilidad Interna de los Sistemas No Lineales
La estabilidad es una de las características más importantes de los sistemas dinámicos. Al analizar la estabilidad de dichos sistemas,surgen diferentes problemas según la manera en que se la caracterice y los sistemas en consideración. Por ejemplo, considerando sistemas lineales y estacionarios, existen métodos para poder determinar su BIBO-estabilidad, como el criterio de la respuesta al impulso, el criterio de Routh y el de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no lineales, estos métodos no tienen validez. La riquezadinámica de los sistemas no lineales presenta ciertos fenómenos que no se evidencian al estudiar los sistemas lineales (ver Khalil, H., 1996). Uno de estos fenómenos es la existencia de múltiples puntos de equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto de equilibrio aislado, y por lo tanto un solo estado de régimen estacionario que −si el punto es asintóticamente estable−atrae alestado del sistema independientemente del estado inicial. En cambio, los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de equilibrio, y la convergencia a uno estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta importante estudiar la estabilidad de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no lineales para poder entender mejor el comportamiento del mismo. Aquí se analiza laestabilidad de los puntos de equilibrio de los sistemas no lineales mediante el estudio del comportamiento del estado en un entorno de los mismos. Para ello se presenta el concepto de estabilidad en el sentido de Lyapunov1 como así también una introducción los métodos de Lyapunov para el análisis de estabilidad. 1- Estabilidad de los Puntos de Equilibrio Un punto de equilibrio de un sistema dinámico esestable en el sentido de Lyapunov si todas las soluciones que nacen en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanías; de otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio además es asintóticamente estable si las soluciones además de permanecer en las cercanías del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que transcurre el tiempo. A continuación se formalizanestos conceptos.
Considérese el siguiente sistema autónomo :
2

x = f (x ) (1) 3 donde las componentes del vector n-dimensional f(x) son continuas y además son funciones Lipschitzianas
en forma local de x, definidas para todo x en el dominio

D ∈ ℜn . La condición de Lipschitz garantiza la existencia y unicidad de la solución de (1) que satisface la condición inicial x (0 ) = x0 .

1Alexander Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) fue un matemático ruso cuyo trabajos, que aparecieron publicados a mediados de 1892, dieron origen al estudio de estabilidad mediante un enfoque teórico que hoy lleva su nombre. 2 Un modelo se denomina autónomo cuando f no depende de t. A_EstSNL.doc 28/04/03 DSF Código: A_EstSNL Página 1 de 8

Suponiendo que

x ∈ D es un punto de equilibrio de (1); osea f x = 0 , se pretende caracterizar y

()

x . Por conveniencia se considera x = 0 lo cual no representa una perdida de generalización ya que cualquier punto de equilibrio x ≠ 0 puede ser trasladado al origen mediante el cambio de variable y := x − x con lo que se tiene:
analizar la estabilidad de

y = x = f (x ) = f y + x := g ( y ) ,

(

)

con

g (0 ) = 0

y = g ( y ) tienecomo punto de equilibrio al origen del espacio de estados. En consecuencia , de ahora en más se considerará que f (x ) satisface f (0) = 0 y se estudiará la estabilidad del origen del espacio de estados x = 0 como punto de equilibrio.
En esta nueva variable y, el sistema

φ (t; t0 , x0 ) representa la solución de (1) dada a partir de la condición inicial x(t 0 ) = x 0 a partir del instante...