límites y continuidad

Límites y continuidad

Límite de una función en un punto: definición intuitiva
Si a y b son dos números, la expresión
a

lx (x) =b
im f a
i
quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a,
.
los correspondientes se aproximan al número b
Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un
número y además único.
2x –1
Ejemplo: La función f(x) = 2
x – 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta
cuando x toma valores cada vez más próximos a 1?

x
0,98
0,99
0,999 0,9999
1
1,0001 1,001
1,01
1,1
f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333
• Cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2
• Cuando x se acerca a 1 por la izquierdaf(x) se acerca a – 2

x2 – 1
Se escribe lim 2
=–2
1 x – 3x + 2
x

Límite de una función en un punto: definición formal
Def: Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto
x = a si para todo número real  > 0 existe otro número real  > 0, tal que si
0 < |x – a | <   |f(x) – L | < 

Para cada  > 0

Hay un > 0

0 < |x – a | 0 existe otro número d >0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d es
función del K elegido .
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para cada
número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde d
debe ser función de K.

Teorema

Ejemplos:

Teorema

Teorema

Límites en el infinito: Definición
Se dice que el número L es el límite def(x) cuando x tiende hacia infinito,
si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera sie mpre que
se tomen valores x suficientemente grandes. Se denota:

lim f(x) = L (lim–f(x) = L).
x 
x 
Ejemplo: En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se
acerca f(x) = (x+1) / x?

x

10

102

103

104

 +

f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,0011,0001 

x+1
lim
=1
x
x+

1

Ejemplo de comportamientos en el infinito: límite infinito
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = x2?

x

10

10 2

103

104

 +

f(x) = x2

102

10 4

106

108

 + 

lim x2 = + 
x+ 

Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo númeroreal M
se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser
función de M.
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite

Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas
funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.
Ambos límites noexisten.

Teorema

Si r > 0, es un número racional, entonces
1
lim r  0
x x

Si r > 0, es un número racional tal que xr
está definida para toda x, entonces
lim

x  

1
0
r
x
24

Cálculo de límites

Límites simples
Cuando las funciones verifican lim f(x) = f(a) se pueden obtener directamente los límites,
xa
por el procedimiento de sustituir en la expresión de lafunción el valor de la variable x por el
valor de a hacia el que tiende.

Algunos límites típicos


lim


x0

sen x
x =1

a x a

lim 1 + x = e , para todo a






x 




ex
lim xp = , para todo p
x 
ln x
lim xp = 0, para todo p > 0
x 

Cálculo de límites simples: ejemplos

x2 cos x + e2x
0 . 1 + e0
lim ln (x + 1) + x3 + 1 = ln 1 + 0 + 1 =1
x0


2

x0

x3 + x – 1
lim x – 100 + x2 – 1  = –100 + 1 = – 99



2
2
.
3
(x – 2x + 1)  3
(1 –2 1+1)


2x3 – 2x + 1
2 . 13–2 . 1 + 1
lim 
=
= 10 = 1


3
3
x –x + 1 
1 –1+1 

x1 

–2x2 + 3
–2 . 32 + 3
15
lim x3 – 2x + 5 = 3
= – 16
3 – 2 .3 + 5
x3

Indeterminaciones: tipos
Cuando podemos calcular el límite de la operación...