Lógica modal

Vocabulario[editar · editar fuente]
La lógica modal sólo agrega dos símbolos al vocabulario de la lógica proposicional: el símbolo \Box , que representa la expresión del lenguaje natural "es necesario que", y el símbolo \Diamond, que representa la expresión "es posible que". Ambos símbolos se prefijan a proposiciones, de modo que \Box p se lee "es necesario que p", y \Diamond p se lee "esposible que p". Además, en la lógica modal clásica, ambos símbolos son interdefinibles por medio del otro y de la negación; así:
\Diamond p = \neg \Box \neg p
\Box p = \neg \Diamond \neg p
Esto implica que en principio, sólo es necesario tomar uno de los dos símbolos como primitivo, ya que el otro puede ser definido a partir de éste y del vocabulario de la lógica proposicional. En general, el símboloque se toma como primitivo es el de necesidad. Estas interdefiniciones son paralelas a las de los cuantificadores en la lógica de primer orden:
\exists x \ \phi(x) = \neg \forall x \ \neg \phi(x)
\forall x \ \phi(x) = \neg \exists x \ \neg \phi(x)
Las razones de este pararelismo resultarán más claras en la sección de semántica de mundos posibles.
Gramática[editar · editar fuente]
Lagramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bien construidas. A estas secuencias se las llama fórmulas bien formadas. La gramática de la lógica modal es igual a la de la lógica proposicional, excepto que añade una regla para los operadores modales, la cual ya fue indicada informalmente en la sección anterior:
Si \phi \, es una fórmula bien formada, entonces \Box \phi también lo es.Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas del lenguaje serán, por lo tanto:
\Diamond (p \to \Box q)
\neg (\Diamond p \land \neg p)
\Box (p \lor \neg p)
Reglas de inferencia[editar · editar fuente]
La regla de inferencia más propia de la lógica modal se llama N (o regla de Necesitación), y dice que si una fórmula \phi \, es un teorema, entonces "es necesario que \phi \," también es unteorema. En otros términos:
\frac{\vdash \phi}{\vdash \Box \phi}
A esta regla hay que sumarle, por supuesto, el modus ponens heredado de la lógica proposicional.
Axiomas[editar · editar fuente]
Cuáles deben ser los axiomas de la lógica modal es algo muy debatido. Diferentes conjuntos de axiomas permiten demostrar diferentes teoremas, y por lo tanto los axiomas que se eligen muchas veces dependen delos teoremas que se quieren demostrar, y de la posición filosófica que se defiende.
La siguiente es una lista de algunos de los axiomas más conocidos:
Nombre Axioma Lectura informal
K \Box (\phi \to \psi) \to (\Box \phi \to \Box \psi) Si es necesario que \phi \, implica \psi \,, entonces si \phi \, es necesario, \psi \, también lo es.
T (o M) \Box \phi \to \phi Si es necesario que \phi \,,entonces \phi \, es el caso.
4 \Box \phi \to \Box \Box \phi Si es necesario que \phi \,, entonces es necesario que \phi \, sea necesario.
5 \Diamond \phi \to \Box \Diamond \phi Si es posible que \phi \,, entonces es necesario que \phi \, sea posible.
B \phi \to \Box \Diamond \phi Si \phi \, es el caso, entonces es necesario que \phi \, sea posible.
Diferentes combinaciones de axiomas dan lugar adiferentes sistemas de lógica modal. El sistema K (llamado así en honor a Saul Kripke) es el que menos axiomas utiliza: aparte de los axiomas de la lógica proposicional, el sistema K se sirve sólo del axioma K (no confundir el axioma con el sistema). Por esta misma razón, sin embargo, el sistema K también es el más débil de los sistemas, es decir, el que menos teoremas puede demostrar. Sistemasmás fuertes se construyen agregando axiomas a K. A continuación hay una tabla con los nombres de los sistemas más conocidos y sus axiomas:
Sistema Axiomas
K K
T K, T
S4 K, T, 4
S5 K, T, 5
B K, T, B
Semántica[editar · editar fuente]
Una interpretación para un lenguaje modal es un conjunto ordenado de tres elementos:
W es un conjunto cuyos elementos generalmente son llamados mundos...