Lógica e introducción a la matemática

000LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS
En lógica los términos indefinidos son: juicio, verdadero, falso; los cuales se utilizan para definir los conceptos requeridos, en el estudio de los objetivos propuestos.
Los juicios, según su contenido, expresan deseos, órdenes, preguntas, etc.:
a) Deseo que los diamantes tengan bajo costo.
b) Es preciso que Ud. detenga la inflación.
c)¿Quién es el responsable de tanto desorden?
Es trivial, que el contenido de estos juicios no permite determinar su verdad o falsedad. La lógica se interesa por el juicio declarativo cuyo contenido permite determinar si es verdadero o falso.
1.1.1 Definición: Se llama proposición a todo juicio declarativo, del cual se puede decidir si su contenido es verdadero o falso; excluyendo laposibilidad que sea simultáneamente verdadero y falso.
1.1.2 Notación: Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas del abecedario: p, q, r, s… Cada uno de estos símbolos recibe el nombre de variable proposicional.
1.1.3 Ejemplos:
a) La tierra gravita alrededor de una estrella. Es un juicio declarativo y su contenido permite decidir que es verdadero; en consecuencia, es una proposición.
b)¿Qué es la balanza de pagos? El juicio contiene una pregunta, es un juicio interrogativo; no es una proposición.
c) Deseo se tomen medidas contra la especulación. Este juicio expresa un deseo, no se puede decidir si es verdadero o falso, por tanto no es una proposición.
d) Viva el desarrollo de la Energía Nuclear. Según su contenido, no es un juicio declarativo. No es una proposición.
e) 3x – 15= 5. Es un juicio declarativo, su contenido es una relación de igualdad que permite decidir si es verdadero o falso.
1.1.4 Definición: Se llama valor de verdad de una proposición, a la verdad o falsedad de dicha proposición.
1.1.5 Notación: Si la proposición p es verdadera se denota: V(p) = V. Si la proposición p es falsa se denota: V(p) = F.
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL
Estudia lasproposiciones y las leyes que rigen las diferentes formas en que se combinan, para generar nuevas proposiciones.
1.2.1 Conectivos proposicionales: Son símbolos que vinculan proposiciones. Las utilizadas en este texto son:  (y),  (o), ∿ (negación),  (implicación),  (doble implicación).
1.2.2 Ejemplos:
Sean: p: La Tierra es un planeta y q: Venus es una estrella.
a) La Tierra es un planeta yVenus una estrella. Se observa que el término “y” vincula las proposiciones p, q; formando la proposición que se denota p  q
b) La Tierra es un planeta o Venus es una estrella. El término “o” vincula las proposiciones p, q. Se origina otra proposición que se denota p  q.
c) Venus no es una estrella. El término “no” niega la proposición q; la proposición que resulta se denota anteponiendo elconectivo ∿ (negación) a la proposición q: ∿q.
d) Si la Tierra es un planeta entonces Venus es una estrella. La expresión si… entonces… vincula las proposiciones p, q, formándose otra proposición que se denota p  q. “p” se llama antecedente y “q” consecuente.
e) La Tierra es un planeta si y solo si Venus es una estrella. La expresión si y solo si, vincula las proposiciones p, q, formándose otraproposición que se denota p  q.
1 2 3 Símbolos de agrupación:
Para un adecuado estudio de las proposiciones y las leyes que le rigen, es indispensable introducir símbolos de agrupación, a saber paréntesis, corchetes y llaves. Su utilización se muestra mediante los siguientes ejemplos:
a) ∿(p  q) (1)
∿p  q (2)
La proposición (1) es diferente de la proposición (2); es el uso delparéntesis lo que determina que las proposiciones sean distintas.
b) (∿p  q)  r (1)
∿p  (q  r) (2)
En la proposición (1) el conectivo “” vincula la proposición (∿p  q) que está a su izquierda, con la proposición r que está a su derecha; el conectivo “” recibe el nombre de conectivo principal. En la proposición (2), el conectivo principal es “”. Esta diferencia en los conectivos...