Método De Resolución De Matrices (Gauss-Jordan Y Jacobi)

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS

Nombre: Christian Fernando Rodríguez Machado
Tema: Método de Resolución de Matrices (Gauss-Jordan y Jacobi)
Fecha: 05 de julio de 2011

El sistema S de ecuaciones lineales

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

Puede ser escrito en forma matricial como Ax=B, donde A es la matriz m ×n decoeficientes con elementos aij, B es un vector columna en Rm y x es un vector columna en Rn. Efectuando la multiplicación matricial en la ecuación.

a11a12…a1na21a22…a2n⋮am1⋮am2…⋮amnx1x2⋮xn=b1b2⋮bm

Se ve de inmediato que esto es equivalente al sistema S.

En cuanto a la matriz:
a11a12…a1na21a22…a2n⋮am1⋮am2…⋮amnb1b2⋮bm

Se denomina matriz aumentada del sistema.

Método de Gauss-Jordan:Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada reducida por filas equivalente por filas a la matriz correspondiente del sistema original, se escribe el sistema equivalente correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas y se resuelve el sistema así obtenido.

Matriz escalonada por filas:
Es una matriz escalonada cuyos primeros elementos son iguales a 1, y en sus respectivascolumnas son los únicos diferentes de cero.

Ejemplo:
A=1001

El procedimiento de reducción de Gauss-Jordan para resolver el sistema lineal Ax=b es el siguiente:

Paso 1: Formar la matriz aumentada A⋮B.
Paso 2: Transformar la matriz aumentada A⋮B a su forma escalonada reducida por filas C⋮D mediante operaciones elementales por filas.
Paso 3: Para cada fila distinta de cero de la matriz C⋮D, sedespeja la incógnita correspondiente a la entrada principal de cada fila asociada con la entrada principal de esa fila. Las filas que constan completamente de ceros se pueden ignorar, pues la ecuación correspondiente será satisfecha por cualesquier valor de las incógnitas.

Ejemplo:

Resolver el sistema lineal
x+y-z=2
2x-y+z=1
x-3y-z=0

Mediante la resolución de Gauss-Jordan
Paso 1: Lamatriz aumentada de este sistema lineal es

1211-1-3-11-1⋮⋮⋮210

Paso 2: Ahora transformamos como sigue la matriz del paso 1 a su forma escalonada reducida por filas.

1211-1-3-11-1⋮⋮⋮210F2-2F1F3-F1≈1001-3-4-130⋮⋮⋮2-3-2-13F2≈10011-4-1-10⋮⋮⋮21-2F1-F2F3+4F2

1000100-1-4⋮⋮⋮112-14F3≈1000100-11⋮⋮⋮11-0.5F2+F3≈100010001⋮⋮⋮10.5-0.5

Paso 3: Sistema resultante

100010001⋮⋮⋮10.5-0.5

Por lotanto de acuerdo al resultado, los valores de las incógnitas son:

x=1
y=0.5
z=-0.5

Método de Jacobi:

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

3.8x+1.6y+0.9z=15.5
-0.7x+5.4y+1.6z=10.3
1.5x+1.1y-3.2z=3.5

Paso 1: Se reescribe el sistema de ecuaciones de modo tal que en la i-ésima ecuación incógnita xi, despejada en función de las restantes.

x=15.53.8-1.63.8y-0.93.8zy=10.35.4+0.75.4y-1.65.4z
z=-3.53.2+1.53.2y+1.13.2z

Paso 2: Se escoge de manera arbitraria una aproximación inicial de la solución del sistema:

x(0), y(0),z(0)
Si no se dispone de ninguna información adicional, puede tomarse como una primera aproximación x(0)=0, y(0)=0,z(0)=0

Paso 3: A continuación se sustituyen las variables en los segundos miembros del paso 1, para obtener una nuevaaproximación x(1), y(1),z(1), es decir:

x(1)=15.53.8-0-0 Luego x(1)=4.0789
y(1)=10.35.4-0-0 Luego y(1)=1.9074
z(1)=-3.53.2-0-0 Luego z(1)=-1.0938

Paso 4: se usan los valores obtenidos en el paso anterior para calcular una nueva aproximación x(2), y(2),z(2).

x(2)=15.53.8-1.63.8(1.9074)-0.93.8(-1.0938) Luego x2=3.5349
y(1)=10.35.4-0.75.4(4.0789)-1.65.4(-1.0938) Luego y2=2.7602z(1)=-3.53.2-0.73.24.0789+1.13.2(1.9074) Luego z2=1.4739

Procediendo de esta manera se obtienen las sucesiones x(n), y(n),z(n), cuyos primeros 15 primeros términosque vienen dados por la siguiente tabla

Iteración |  x(n) | y(n)  | z(n)  |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 4,0789 | 1,9074 | -10.938 |
2 | 3,5349 | 2,7602 | 1,4739 |
3 | 2,5677 | 1,9289 | 1,5121 |
4 | 2,9087 | 1,7922 | 0,7729 |...