Métodos numéricos

2.3.1.1 Método de Heun

Como ya hemos mencionado la fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada de la función al inicio del intervalo se aplica a través de toda la longitud del mismo. El método de Heun propone mejorar la estimación de la pendiente calculando las derivadas al comienzo y al final del intervalo. Luego, estas derivadas se promedian para obtener unaestimación mejorada de la pendiente para todo el intervalo. Este procedimiento se ilustra en la siguiente figura:

En este método primero se calcula la derivada al comienzo del intervalo:



y se usa para extrapolar linealmente a un valor de yi+1, que distinguiremos con el supraíndice 0 por ser la misma una predicción intermedia y no la respuesta final como lo hubiera sido en el método de Euler:Esta ecuación es la llamada ecuación predictor y da una predicción intermedia de yi+1, denominada , que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo:



Luego se obtiene una pendiente promedio para el intervalo:



Esta pendiente promedio se usa para extrapolar nuevamente desde yi a yi+1 usando el método, ya conocido, de Euler



la cual esconocida como ecuación corrector.
El método de Heun es un procedimiento predictor – corrector o multipaso. Este puede expresarse en forma resumida como:



Como la ecuación corrector tiene a yi+1 en ambos miembros, entonces puede aplicarse en forma iterativa, y de esta manera obtener una estimación mejorada de yi+1. El criterio de iteración no necesariamente converge a la solución verdaderasino que lo hará sobre una solución aproximada con un error de truncamiento finito. Como sucede con la mayoría de los métodos iterativos un criterio de terminación para la convergencia del corrector está dado por la ecuación:



donde resultan de dos iteraciones sucesivas, la actual y la anterior respectivamente.
Ejemplo. Resolver mediante el método de Heun la siguiente ecuacióndiferencial:



desde x = 0 a x = 4, con un tamaño de paso h = 1, y la condición inicial en x = 0 es y = 2.
Antes de resolver el problema en forma numérica y a los efectos de comparar error calculamos la solución exacta que es :



Ahora, ya abordando el problema desde el punto de vista numérico, inicialmente calculamos la pendiente en ( x0 , y0 ):



Se puede apreciar la falta de precisiónde este calculo si tenemos en cuenta que la pendiente promedio real para el intervalo [ 0 , 1 ] es 4.1946.
Usando la ecuación predictor obtenemos un estimado de y en x = 1:



Obsérvese que este sería el resultado que se obtendría con Euler, con un error relativo porcentual del 25.3 %.
Ahora para mejorar el estimado anterior en Yi+1 usamos el valor para predecir la pendiente en el finaldel intervalo:



Esta pendiente se promedia con la pendiente inicial para obtener una pendiente promedio sobre el intervalo [ 0,1 ]



Podemos ver que esta pendiente promedio calculada es mas cercana a la pendiente promedio verdadera de 4.1946.
Ahora aplicamos la ecuación corrector, sin iterar:


Se observa claramente que esta estimación, que se obtuvo sin iteración sobre laecuación corrector, tiene un error relativo porcentual del –8.18 % respecto de la solución exacta. Entonces esta es mucho mas aproximada a la solución exacta que la que se obtuvo en el primer paso, que es equivalente a la aplicación simple de Euler.
Si refinamos la predicción de y1 al sustituir este valor calculado en el segundo miembro de la ecuación corrector tendremos:



Ahora calculamosnuevamente la estimación de la pendiente en el punto final del intervalo:



Y por último con esta nueva estimación de la pendiente obtenemos una nueva estimación del valor de la función al final del intervalo:



Esta nueva estimación tiene un error relativo porcentual es de –1.31 %.
Debe tenerse en cuenta de que puede suceder que al efectuar un número mayor de iteraciones el error...