Manual de matematica II

INTRODUCCION

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática II para el estudiante
representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Area
de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está
decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Asignatura de Matemática II, en laUnidad Académica de Estudios Generales.
Esta Guía que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una
de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2010 - II,
por lo que está dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades
son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite yContinuidad de una
Función Real de Variable Real y, Derivadas e integrales.
Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea en un instrumento básico de
trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía
recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y académica de
cada uno de los estudiantes de Estudios Generales quecursan la Asignatura de Matemática II,
así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

La Coordinación del Área de Matemática

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij dispuestos en filas y columnas. Estos
elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las
letras mayúsculas A,B, C , etc.
Representación General:

 a11 a12 ....... a1 n

 a21 a22 ....... a2 n

A  .
 .

a
a
....... a
mn
 m1 m 2









 mxn

Orden de una matriz
El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la
matriz.
Si, A  [ a ]

ij mn

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y

j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subíndices indican la posición del
elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).
ejemplo el elemento a12 está en la fila 1 y en la columna 2.
CONSTRUCCIÓN DE MATRICES
Ejercicios:
Construir las siguientes matrices:

i j
 2i  j ,

/a   i j
1) A  [ a ]
ij 2 x 3
ij
,
i j


2 ( 1 ) i , i  j

A [ a ]
/a  
ij 3 x 2
ij
 ( 2 ) j , i  j


2)

Por

3)

A [ a ]
ij

5) C  [ c

ij

2 x 2

]

3x3

x , i j
/a  
ij
y , i  j
 j  2 i ,i  j
/c  
ij
i  2 j , i  j

7) D  d ij 
  3 x 3 / d ij

9)

E  a ij 
 

3x3

4)

3i  j

ij

6) C  [ c ]
ij

 2 j  3i ; i  j
 j
i
 2 3 ; i  j

/ e 
ij



B [ b ]

8) C [ c ]
ij

3x3

3x 2

1 , i  j
/c  
ij
3 , i  j
max ( i , j ); i  j
/c  
ij
min ( i , j ); i  j

2 x3

; i j
10) E  e ij 
 3 x 3

i2  j2 ; i  j
2i  j ; i  j

 3i , i  j
/b  
ij
 j 1 , i  j

 ji ; i  j

/ e   i j ; i  j
ij
 ij ; i j


IGUALDAD DE MATRICES
Las matrices A  [ a ]ij

mn

y B  [b ]
ij

mn

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

A  B  aij  bij , para todo i, j
EJERCICIOS
Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: E  s  m  p

, si


0,5S

A 4

 p 1



0, 2 x

2. Calcule: E  xy  xz  yz , si A   4

 z 1


3. Calcule: E x y z
6 x  2 y
, si A  
6
 4z  2

2
0
3

1
0
8

8 
x  y



 7

s 
1 

7 

y

y


7 

y 
1

3

y

16
2 7

B 4
0
s
 m  s 3 7m


 25
1

B4
0
 x y 8


 6 8
B

 2 5

7

y 
3y 








4. Calcule: E  2 xz 

1
 i j ,i  j
, si A [ a ]
/ a ij = 
ij
2 x 2
z...