Manual

Capítulo

5

om

Soluciones ejercicios

w

w

w
.F

is
ic
a

A.
c

Ejercicio 5.1 La compuerta de la figura tiene 2 m de ancho y contiene
agua. Si el eje que soporta la compuerta que pasa por A soporta un par máximo de 150 kN m, determine la máxima altura h que puede tener el agua.

h

2.8 m

2.1 m

Solución. El perfil de presión que actúa sobre la compuerta se ilustraen
la figura que sigue

80

Soluciones ejercicios

h1
h
z
α

L

de manera que necesitamos el área y centroide de la figura
A1
a

b

om

A2

.c

L

w

w
w

.F

is

ic

aA

Como conocemos las propiedades de un rectángulo y de un triángulo es fácil
obtener
1
1
A = A1 + A2 = L(b − a) + La = L(a + b).
2
2
El centroide está en posición (medida desde laizquierda)
L
+ 23 A1
A1 + A2
1 a + 2b
L
=
3 a+b

xC =

L
A
22

La presión varía de la forma
p = ρgh1 + ρgz sin α,
entonces la fuerza por unidad de longitud es
ρwgh1 + ρwgz sin α,
siendo w el ancho de la compuerta. De manera que la fuerza resultante es
1
L(ρwgh1 + ρwgh1 + ρwgL sin α)
2
1
ρwgL(2h1 + L sin α)
=
2

F=

81
y su punto de aplicación es
1 (ρwgh1 ) + 2(ρwgh1 +ρwgL sin α)
L
3 ρwgh1 + (ρwgh1 + ρwgL sin α)
1 3h1 + 2L sin α
L
=
3 2h1 + L sin α
El torque será de magnitud
1
1 3h1 + 2L sin α
)
τ A = F (L − zc ) = ρwgL(2h1 + L sin α)(L − L
2
3 2h1 + L sin α
13
1
L gwρ sin α + L2 gwρh1
=
6
2
Nota : Vale la pena aprender a integrar pues es muy directo calcular
ZL
τA =
(L − z )(ρwgh1 + ρwgz sin α)dz
zc =

om

0

w
w

w

.Fis

ic

aA

.c

13
1
L gwρ sin α + L2 gwρh1
=
6
2
Numéricamente w = 2 m, ρ = 1 g cm−3 = 1000 kg m−3 , g = 10 m s−2 ,
p
L = 2,12 + 2,82 = 3. 5 m, cos α = 2,1/3,5 = 0,6, α = 53. 13, calculamos
τ A = 1. 143 3 × 105 + 1. 225 × 105 h1 ,

de manera que de
1. 143 3 × 105 + 1. 225 × 105 h1 = 150000, resulta h1 = 0,291 18 m y luego
h = h1 + 2,8 = 3. 091 m.
N
Ejercicio 5.2 Determíneseel par que se requiere hacer en A para sostener
la compuerta indicada cuyo ancho, perpendicular al papel es w = 2 m.

6m

2m

82

Soluciones ejercicios

Solución. Si z indica la posición en la compuerta medida desde A hacia
abajo, entonces numéricamente ( ρ = 1000 kg m−3 , g = 10 m s−2 , w = 2 m)
p = 10000(4 + z ) N m−2
y la fuerza por unidad de longitud será
20000(4 + z ) N m−1 .Su resultante y punto de aplicación será calculada igual que en el problema
anterior con

m

1
(2)(20000 × 4 + 20000 × 6)
2
= 200000 N

.F
w
w

w

y su punto de aplicación es

is

ic

aA
.

co

F=

1 (20000 × 4) + 2(20000 × 6)
2
3 20000 × 4 + (20000 × 6)
= 1. 067 m.

zc =

de modo que el torque es
τ A = 200000 × 1. 067 = 2. 134 × 105 N m
Note de nuevo queintegrando es mucho más directo
Z

0

2

20000(4 + z )zdz = 2. 13 × 105
N

Ejercicio 5.3 Determine la ubicación “y ”del pivote fijo A de manera que
justo se abra cuando el agua está como se indica en la figura.

83

2m

y

A.
co

m

1m

w

w
w

.F

is
ic
a

Solución. Si h indica una coordenada de posición medida desde la superficie del agua hacia abajo, entonces lapresión en un punto ubicado a esa
profundidad es
p = ρgh,
(la presión atmosférica actúa por ambos lados y se cancela). Para que la
compuerta justo se abra, el punto de aplicación de la resultante debe estar
en el punto A. La coordenada del punto de aplicación medida desde el punto
más alto de la compuerta puede escribirse
1 (ρwgh1 ) + 2(ρwgh2 )
L
3 ρwgh1 + (ρwgh2 )
1 h1 + 2h2
L
=
,
3h1 + h2

zc =

entonces
1 1 + 2(2)
= 0,56 m
3 1+2
por lo tanto
y = 1 − 0,56 = 0,44 m
N

84

Soluciones ejercicios

Ejercicio 5.4 Un bloque con una sección transversal de área A, altura H y
densidad ρ , está en equilibrio entre dos fluidos de densidades ρ1 y ρ2 , con
ρ1 < ρ < ρ2 . Suponga que los fluidos no se mezclan. Determine la fuerza
de empuje sobre el bloque y encuentre...