Marketin

 
 
TEMA 5  VARIABLE ALEATORIA 
 
5.1 Concepto de variable aleatoria. Función de distribución 
 
En  muchas  ocasiones  vamos  a  estar  interesados  en  alguna  característica  medible  ligada  a  un  experimento 
aleatorio,  como  el  número  de  puntos  que  se  obtienen  al  lanzar  dos  veces  un  dado  con  las  caras  numeradas 
del  uno  al  seis,  o  el  peso  de  un  paquete de  un  alimento  precocinado  elaborado  mediante  un  determinado 
proceso  de  fabricación,  o  el  número  de  automóviles  que  llegan  en  un  periodo  de  10  minutos  a  una  estación 
de servicio, o el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda. 
En  todas  estas  situaciones  los  sucesos  ligados  a  estas  características  se  pueden  representar  mediante conjuntos  de  números  reales.  El  concepto  de  variable  aleatoria  permite  estudiar  estas  situaciones  y 
desarrollar  el  modelo  matemático  de  los  experimentos  aleatorios  utilizando  resultados  de  las  funciones 
numéricas. 
 
5.1.1 Concepto de variable aleatoria 
 
Consideramos  un  experimento  aleatorio  con  espacio  de  probabilidad  (, A,  P ).  Una  variable  aleatoria asociada  al  experimento  aleatorio  es  una  función  que  a  cada  suceso  elemental  le  hace  corresponder  un 
número real y que permite definir un nuevo espacio de probabilidad cuyo espacio muestral es el conjunto de 
los números reales y mantiene la estructura de la probabilidad definida por  P .  
Para  ello  hay  que  considerar  una  familia  de  subconjuntos  de  R que  representen los  sucesos  y  que  tenga  la 
misma  estructura  de  A  .  Esta  familia  se  llama  campo  de  Borel,  lo  notamos  por  B, y  tiene  por  elementos  los 
intervalos de números reales de todo tipo, los conjuntos formados por un número finito o infinito numerable 
de números reales y las uniones e intersecciones de todos ellos. 
 
Definición:  Sea  (, A,  P )  el  espacio  de probabilidad  de  un  experimento  aleatorio.  Una  variable  aleatoria 
definida sobre este espacio de probabilidad es una función, que notamos  X , que verifica: 
1
                                      X   R       y      B  B X B  A  
 
La  variable  aleatoria  permite  trasladar  la  estructura  de  la  probabilidad  definida  por  P ,  porque  se  puede 
definir  una  función,  que notamos  PX ,  que  se  demuestra  que  es  una  función  de  probabilidad  y  que  se  le 
llama función de probabilidad inducida por la variable aleatoria  X o distribución de probabilidad de  X .  
PX B  P X 1 B     
La forma de definir PX  es:   B  B
 
Podemos  concluir  que  al  definir  una  variable  aleatoria  X se  obtiene  un  nuevo  espacio  de  probabilidad  cuyo espacio  muestral  es  el  conjunto  de  los  números  reales,  la  familia  de  sucesos  es  el  campo  de  Borel  y  la 
función de probabilidad es  PX . 





 
 
 

1 

Ejemplo  1:  Se  considera  la  variable  aleatoria  X :  número  de  caras  que  se  obtienen  al  lanzar  tres  veces  una 
moneda. 
Si  notamos  C el  suceso  “se  obtiene  cara  al  lanzar  una  moneda”, entonces  el  espacio  muestral  del 
experimento  aleatorio  tiene  ocho  sucesos  elementales,  y  en  el  gráfico  vemos  los  valores  que  la  variable 
aleatoria le hace corresponder a cada suceso elemental. Obtenemos 
 
1
C , C , C   
 
PX 0 
                          PX  0  P C , C , C   8
                               
C , C , C   
3
0
PX 1  PX  1  P C ,C , C  C , C , C  C , C , C    
 
8
C , C , C   
3
 
PX 2  PX  2  P C , C , C  C , C , C  C , C , C    
8
 
1 
C , C , C   
1
 
PX 3  PX  3  PC , C , C  
8 
 
  
C , C , C 
2 
PX    ,1   PX  1 
 
C , C , C 
 
41
 P C , C , C  C , C , C  C , C , C  C , C , C   
3 
 
8 2 
C , C , C 
  ...