Markov y dependencia lineal

TALLER – EJERCICIOS DE MATEMATICAS
EDISON JAVIER JIMENEZ LOPEZ – MAESTRIA ECONOMIA

1) Determinar si los siguientes vectores son linealmente independientes o dependientes:

a) [pic]Planteamos la multiplicación por su respectivo escalar o constante:

[pic] [pic]

Al multiplicar nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

c1 + 2c2 =0

-2c1 - 2c2 + c3 =0

3c1+ 7c3 =0

Al desarrollar por el método de Gauss-Jordan tendremos que:

[pic]

Como podemos observar la ultima variable (C3) nos da igual al cero y al reemplazar este C3=0 en las otrasecuaciones, las demás variables C1 y C2 se vuelven cero también. Por consiguiente los vectores son linealmente independientes.

b) [pic]

Planteamos la multiplicación por su respectivo escalar oconstante:

[pic] [pic]

Al multiplicar nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

c1 + 3c2 + 11c3 =0

-3c1 -6c3 =0

4c2 + 12c3 =0

Al desarrollar por el métodode Gauss-Jordan tendremos que:

[pic]

Una fila desaparece por lo que habrá un grado de libertad, es decir la solución será arbitraria:

4c2 + 12c3 =0 ; 4c2 = -12c3 ; c2 = -3c3

Reemplazamoseste resultado en la primera ecuación y tendremos:

c1 + 3(c2) + 11c3 =0 ; c1 + 3(-3c3) + 11c3 =0 ; c1 - 9c3 + 11c3 =0 ;

c1 + 2c3 =0 ; c1 = -2c3

Como vemos el sistema tiene solución arbitraria,con un grado de libertad el cual en este caso es C3, es decir, que hay una infinidad de soluciones para que el sistema sea igual a cero, quedando el sistema así:

[pic] [pic]

Por lo tanto losvectores son linealmente dependientes.

2) Encontrar los autovalores y autovectores para la siguiente matriz:

A = [pic]

[pic]=[pic]

Al hallar el determinante para la anterior matriz y luegode simplificar términos tendremos que:

[pic]= - λ3+2λ2+5λ-6

Luego, factorizamos la expresión y obtenemos:

-((λ+2)(λ-3)( λ-1))=0

Por lo tanto los valores propios son:

λ1=-2...