Markov

2º Sección

FORMAS CUADRÁTICAS

EL SIGNO DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS
Gustavo Vázquez
Sea la forma cuadrática:
a)

q1 = 4u 2 + 4uv + 3v 2

1) En primera instancia, obtenemos la matriz asociada a la forma cuadrática
propuesta, que en este caso refiere a una forma de dos variables.
La expresión matricial de la forma es:

⎡4 2⎤ ⎡u ⎤
v] ⎢
⎥⎢ ⎥
⎣ 2 3⎦ ⎣ v ⎦

[u

Definimos,entonces, a la matriz A como la matriz asociada a la forma
cuadrática propuesta:

⎡ 4 2⎤
A=⎢
⎥
⎣ 2 3⎦
La matriz asociada a una forma cuadrática se obtiene en este caso,
posicionando los coeficientes correspondientes a los términos cuadráticos,
siempre, en la diagonal principal, mientras que, los coeficientes de términos de
productos cruzados se dividen en partes iguales y se ubican fuera de ladiagonal (similar razonamiento se realiza al tratar con matrices de mayor
dimensión).
Luego, debemos obtener el signo de la forma cuadrática, para lo cual
distinguimos tres tipos de procedimientos:
1) algoritmo de completar cuadrados
2) determinación del signo por medio del estudio del signo de los autovalores
3) por determinantes
En nuestro ejemplo, tomamos la matriz asociada a q1 yobtenemos los
menores principales,

A1 = 4 > 0
A2 =

4 2
=8>0
2 3

Por lo tanto, al ser ambos determinantes positivos, la forma cuadrática q1 es
definida positiva.

Es de notar, entonces, que para el ejercicio planteado al comienzo, todo lo que
debe hacerse es calcular los autovalores de la matriz asociada a la forma
cuadrática. Para ello, partimos de la ecuación matricial:

A (2 x 2 )u (2 x1 ) = λ u (2 x1 ) ,
donde, A es, en este caso la matriz asociada a la forma cuadrática, u es el
vector que llamamos característico y λ es el escalar, denominado raíz
característica o autovalor. Replanteando la ecuación anterior, tenemos:

( A − λI )u = 0 (2 x1)
Presentado el sistema de ecuaciones, pretendemos encontrar una solución no
trivial para el vector u, de manera que debemosexigirle a la matriz ( A − λI ) que
sea singular, o lo que es lo mismo, que su determinante sea igual a cero:

A − λI =

4−λ
2
=0
2
3−λ

Desarrollamos el determinante y obtenemos la ecuación característica:

(4 − λ )(3 − λ ) − 4 = 0
12 − 4λ − 3λ + λ2 = 0
λ 2 − 7λ + 8 = 0
Calculamos las raíces del polinomio característico, obteniendo:

7 − 17
≅ 1,44 > 0
2
7 + 17
λ2 =
≅ 5,56 >0
2

λ1 =

Por lo tanto, corroboramos por este procedimiento, también, que la forma
cuadrática q1 es definida positiva.

b)

q 2 = −4 x1 − 5 x 2 − 2 x3 + 4 x1 x 2
2

2

2

1) En primer lugar, expresamos la forma cuadrática, al igual que en el ejemplo
anterior, en términos matriciales, para luego obtener la matriz asociada,

[x1

x2

0⎤
⎡− 4 2
⎢ 2 −5 0 ⎥
x3 ] ⎢
⎥
⎢0
0− 2⎥
⎣
⎦

⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2⎥
⎢ x3 ⎥
⎣ ⎦

Donde la matriz asociada denotada con la letra A será, en este caso,

⎡− 4
A=⎢ 2
⎢
⎢ 0
⎣

2
−5
0

0 ⎤
0 ⎥
⎥
− 2⎥
⎦

2) Para utilizar el criterio del algoritmo de completar cuadrados, debemos
tener en cuenta cuáles son las condiciones que definen el signo para el caso
de formas cuadráticas de tres o más variables.
Teniendo encuenta tales condiciones, procedemos entonces a hallar los
menores principales (recuerde que los menores principales son los
subdeterminantes de A ; así, A1 es el subdeterminante a11 , y A2 es el
subdeterminante

a11

a12

a12

a 22

).

Calculamos a partir de la
correspondientes a nuestro
continuación:

matriz asociada, los menores principales
ejercicio. Los resultados se exponena

A1 = −4 < 0
−4

2

2

−5

−4

2

0

A3 = 2

−5

0 = −32 < 0

0

0

−2

A2 =

= 16 > 0

Finalmente, la forma cuadrática q 2 es definida negativa, pues:

(− 1)1 (− 4) = 4 > 0 ; (− 1)2 (16) = 16 > 0 ; y (− 1)3 (− 32) = 32 > 0.
2) Para utilizar el criterio de los autovalores, partimos de la ecuación matricial
siguiente:

A(3 x3) x(3 x1) = λx(3 x1)...