marta

Solucionario

5

Geometría analítica plana
ACTIVIDADES INICIALES

5.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(؊2, 5) y B(8, 11).
El punto medio es M(3, 8).
5.II. Dibuja un triángulo isósceles y traza las medianas, alturas y mediatrices del mismo.
Localiza el baricentro, ortocentro y circuncentro del triángulo. ¿Con qué recta coincide
la recta de Euler en estecaso?

G

G es el baricentro, T es el circuncentro y H es el ortocentro. La recta de Euler en este
caso coincide con la mediana, la altura y la mediatriz del lado desigual que, por tanto, son
la misma recta.

T
H

5.III. Dibuja un triángulo rectángulo y traza las medianas, alturas y mediatrices del mismo.
Localiza la recta de Euler de este triángulo.
G
La recta de Euler en este casocoincide con la mediana sobre la hipotenusa.
T
H
5.IV.Dibuja el triángulo de vértices A(4, 3), B(؊3, 3) y C(0, ؊3).
Y

a) Calcula las coordenadas del baricentro.

B

A
G T

b) Dibuja sus medianas y el baricentro.
c) Dibuja sus alturas y el ortocentro.

r

d) Dibuja sus mediatrices y el circuncentro.
e) Dibuja la recta de Euler.

H

1
O

X

1

a) G(1\3, 1)
C

AlturaMediana
Mediatriz

EJERCICIOS PROPUESTOS
5.1*. Comprueba si los puntos A(؊2, 3), B(2, ؊3) y C(؊2, 5) pertenecen o no a la recta que pasa por P(؊2, 6) y
៮៬
tiene como vector director v ‫ .)3؊ ,0( ؍‬Calcula dos puntos más de esta recta.
Las ecuaciones paramétricas de la recta son: r ϵ

Άx ϭ Ϫ2 3␭
yϭ6Ϫ

En este caso se trata de la recta vertical x ϭ Ϫ2. Cualquier punto cuya abscisa seaϪ2 pertenece a la recta, pues
siempre existe un valor real de ␭ tal que y ϭ 6 Ϫ 3␭
A(Ϫ2, 3):

Ϫ2
ΆϪ2 ϭ Ϫ 3␭ ⇒ ␭ ϭ 1 ⇒ A ʦ r
3ϭ6

B(2, Ϫ3):

2 Ϫ2
ΆϪ3 ϭ 6 Ϫ 3␭ ⇒ B

r C(Ϫ2, 5):

Ϫ2
ΆϪ2 ϭ Ϫ 3␭ ⇒ ␭ ϭ ᎏ1ᎏ ⇒ C ʦ r
5ϭ6
3

Cualquier punto de coordenadas (Ϫ2, y) pertenece a la recta, por ejemplo (Ϫ2, 6) y (Ϫ2, 0).

៮៬
5.2. Considera la recta que pasa por el punto M(5, ؊2) y lleva ladirección del vector v ‫.)2 ,2؊( ؍‬
a) Calcula su ecuación vectorial.
b) Halla sus ecuaciones paramétricas.
a) La ecuación vectorial es: (x, y) ϭ ( 5, Ϫ2) ϩ ␭ (Ϫ2, 2) para cualquier número real ␭
b) Las ecuaciones paramétricas son: r ϵ

5 Ϫ 2␭
ΆϪ2 ϩ 2␭

5.3. En cada caso, calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:
a) A(2, ؊5) y B(1, ؊3)

b) A(3, ؊3) y B(؊3, ؊3)c) A(1, 4) y B(1, ؊3)

d) A(؊2, ؊4) y B(3, ؊2)

៮៬
a) El vector director es AB ϭ (Ϫ1, 2) y la recta pasa por A(2, Ϫ5).
y ϩ 5
x Ϫ 2
Por tanto: ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ 2x Ϫ 4 ϭ Ϫy Ϫ 5 ⇒ AB ϵ 2x ϩ y ϩ 1 ϭ 0
2
Ϫ1
៮៬
b) El vector director es AB ϭ (Ϫ6, 0) y la recta pasa por A(3, Ϫ3).
x Ϫ 3 ϭ Ϫ6␭
Por tanto:
⇒ AB ϵ y ϭ Ϫ3
y ϩ 3 ϭ 0

Ά

៮៬
c) El vector director es AB ϭ (0, Ϫ7) y la recta pasa porA(1, 4).
x Ϫ 1 ϭ 0
Por tanto:
⇒ AB ϵ x ϭ 1
y Ϫ 4 ϭ Ϫ7␭

Ά

៮៬
d) El vector director es AB ϭ (5, 2) y la recta pasa por A(Ϫ2, Ϫ4).
y ϩ 4
x ϩ 2
Por tanto: ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ 2x ϩ 4 ϭ 5y ϩ 20 ⇒ AB ϵ 2x Ϫ 5y Ϫ 16 ϭ 0
5
2
5.4. Calcula las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices: A(2, 3), B(؊1, 0) y C(0, ؊3).
Las medianas son las rectas que unen cada vértice con el punto medio dellado opuesto.
En primer lugar se calculan los puntos medios de los lados:

΂

΃

΂

΃

1 3
1
3
Lado AB: M ᎏᎏ , ᎏᎏ ; lado BC: P Ϫᎏᎏ , Ϫᎏᎏ ; lado CA: N(1 0)
2 2
2
2

΂

΃

1 9
៮៬
៮៬
La mediana correspondiente al lado AB pasa por C y M, y su vector director es: CM ϭ ᎏᎏ, ᎏᎏ || u ϭ (1, 9).
2 2
y ϩ 3
x
Luego la ecuación de la recta es ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ 9x ϭ y ϩ 3 ⇒ CM ϵ 9x Ϫ y Ϫ 3 ϭ0.
1
9

΂

΃

5
9
៮៬
La mediana correspondiente al lado BC pasa por A y P, y su vector director es: AP ϭ Ϫᎏᎏ Ϫᎏᎏ || (5, 9).
2
2
y Ϫ 3
x Ϫ 2
Luego la ecuación de la recta es ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ 9x Ϫ 18 ϭ 5y Ϫ 15 ⇒ AP ϵ 9x Ϫ 5y Ϫ 3 ϭ 0.
9
5
៮៬
La mediana correspondiente al lado CA pasa por B y N, y su vector director es: NB ϭ (2, 0).
Luego la ecuación de la recta es BN ϵ y ϭ 0.
5.5....