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CAPÍTULO I

FUNCIÓN
En nuestra vida diaria podemos establecer muchas relaciones que involucran a dos variables de modo tal que el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo las ventas de un producto dependen de su precio; la distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad. Si consideramos la relación entre el área de un círculo y su radio, expresada por laecuación A = πr2 , donde el valor de A depende del r elegido. En este sentido hablamos de A como la variable dependiente y de r como la variable independiente.

1. FUNCIÓN
1.1. Definición:
Una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de otro conjunto B, se denomina Función. Graficamente.

f
A x y a B A x y

g
B a

Fig. a
Es decir:
f : A → B Se lee f es una funciónde A en B.

Fig. b

No es función si a un elemento del conjunto A (z) le hace corresponder dos o más elementos del conjunto B ( a y b). Figura b Notación Funcional.

• •

La variable caracteristica llamada función se denota por una letra.
f, g , h,⋯ , ó F, G , H ,⋯

f(x) : se lee f evaluado en x .

Ejemplos: 1. f(x) = x + 3 2. f(x) = x 2 + 1 3. f(r) = πr2 4. f(x) = x2 − 2x

1.2.Dominio y Rango
De manera general definimos una función de un conjunto A (conjunto de partida) hacia un conjunto B (conjunto de llegada) del siguiente modo: f : A → B . Todos los elementos de A que participan o que se les permite participar forman el dominio de dicha función, y todos los elementos de B forman el rango o imagen de la función.

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Notación.
Dominio de la función f: Rango de lafunción: Df Rf

Gráfica

A
Df

f

B
Rf

1 2 3

2 4 6

Si A = B = R entonces f : R → R , se llamara función real de variable real, puesto que los valores de las características o variables son números reales y su imagen o rango viene a hacer también el conjunto de los números reales. Matemáticamente se tiene:

Dominio de la función
Df = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x, y) ∈ f}

El dominiode f se determina analizando todos los posibles valores que puede tomar la variable independiente x de tal manera que f(x) sea real. Es decir y , variable dependiente, salvo en el caso que el dominio sea especificado. Rango de la función
R f = {y ∈ R / ∃ x ∈ A ∧ (x, y) ∈ f} El rango o imagen de la función f se determina despejando x en función de y , luego se analiza

todos los valoresposibles que puede tomar y de manera que x sea real.
Ejemplo:

Halle el dominio y rango de : f(x) = Solución: a) Dominio
f(x) existe para todo x ≠ 1 . Por lo tanto,

2 x −1

Dom(f) = {x ∈ R / x ≠ 1}

b) Rango
Despejando x se tiene:
2 = yx − y ⇔ x =

2+y , y≠0 y

Luego el rango es:
Ran(f) = {y ∈ R / y ≠ 0}

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Observación La gráfica de una ecuación representa a una función si todarecta vertical trazada sobre la grafica corta a esta en un solo punto No es función Es función

1.3. Valor numérico de una función
El valor numérico de una función es el valor que se obtiene al reemplazar la variable independiente por un valor asignado. Es decir, sea f(x) una función dada, entonces si x se le asigna el valor de a, el valor numérico de la función f es f(a).

Ejemplo. Sea f lafunción definida por f(x) = 2x+1, entonces calcule el valor numérico de la función f cuando x = 2 . Solución Sólo se debe de reemplazar el valor de x en la función dada. Es decir: f(2) = 2(2) + 1 = 4+1 = 4. Por lo tanto, el valor numérico de la función es: f(2) = 4.

Ejercicios Resueltos
1. Sean los conjuntos A={2; 4; 6; 8; 10} y B={a; b; c; d; e}. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos definenfunciones de A en B? f = {(2;a), (4;c), (10;c), (8;e), (6;e)} g = {(10; a), (6;b), (2;a), (6;e), (4;d)} Solución Por definición de función se tiene que g no es función por que para el elemento 6 le hace corresponder dos imágenes. Es decir: g(6) = b y g(6) =e. 2. Determine el valor numérico de N = a) f(x) = 5x − 10 b) f(x) = mx + b c) f(t) = t2 + t − 5 d) f(x) = 19573 e) f(x) = x 3 − 2x + 4 Solución...