mat022
Páginas: 16 (3853 palabras)
Publicado: 9 de junio de 2013
Coordinación de Matemática II (MAT022)
Primer semestre de 2013
Semana 13: Lunes 17 de Junio – Viernes 21 de Junio
COMPLEMENTO Y CÁLCULO
Contenidos
• Clase 1 (Cálculo): Centroides y Teoremas de Pappus.
• Clase 2 (Complemento): Series alternadas, teorema de Leibnitz. Convergencia condicional
y absoluta.
• Clase 3 (Cálculo): Series de potencias: Radio e intervalo de convergencia.
•Clase 4 (Complemento): Derivación e integración de series de potencias.
CLASE 1
1.0.1
Centroides y Teoremas de Pappus
Antes de introducir el concepto de centroide de un objeto geométrico vamos recordar la noción de promedio de una
función. Dado un n ∈ y una función f : {1, 2, . . . , n } → el promedio de los valores de f en los puntos 1, 2, . . . , n es dado
por
f (1) + f (2) + · · · + f(n )
Prom f =
n
ejemplos simples muestran que el promedio no necesita ser ninguno de los valores que toma f . Considere ahora una
función f : → , ¿Cómo podemos definir el promedio de f ? una posible definición basada en una extensión de lo
anterior es
f (1) + f (2) + · · · + f (n )
Prom f = lim
n →∞
n
si tal límite existe.
Considere ahora el intervalo cerrado [a ,b ] en
f ? Supongamosque
y una función f : [a ,b ] → . ¿Cómo podemos definir el promedio de
= {x 0 , x 1 , . . . , x n }
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
es una partición de [a ,b ] y escogemos s i ∈ ]x i −1 , x i [ para i = 1, 2, . . . , n . Si f asume el valor f (s i ) en todo el intervalo
]x i −1 , x i [ entonces podríamos definir
=
f (s 1 ) (x 1 − x 0 ) + · · · f (sn ) (x n − x n−1 )
(x 1 − x 0 ) + · · · + (x n − x n −1 )
=
Prom f
1
b −a
n
f (s i ) (x i − x i −1 )
i =1
si f es integrable en [a ,b ] entonces cuando n → ∞ lo anterior nos conduce a
b
1
b −a
Prom f =
f (x ) d x
a
Los promedios ponderados aparecen cuando deseamos asignar más o menos importancia a algunos de los valores que
toma la función. Dado n ∈ y f : {1,2, . . . , n } → sea w (1) , w (2) , . . . , w (n ) numeros positivos tales que w (1)+w (2)+· · ·+
w (n ) = 0 si decidimos asignar los pesos w (1) , w (2) , . . . , w (n ) a los valores f (1) , f (2) , . . . , f (n ) respectivamente entonces
el promedio ponderado de f respecto a esos pesos es
w (1) f (1) + w (2) f (2) + · · · + w (n ) f (n )
w (1) + w (2) + · · · + w (n )
Prom f =
conesto en mente damos la siguiente definición. Una función integrable w : [a ,b ] →
b
negativa, W = a w (x ) d x = 0. Si f : [a ,b ] → es un afunción integrable y w : [a ,b ] →
promedio ponderado de f con respecto a w es definido por
b
a
Av f ; w =
w (x ) f (x ) d x
W
b
=
a
es llamada función peso si es no
es una función peso entonces el
w (x ) f (x ) d x
b
a
w (x ) d xUn centroide de un conjunto de puntos, es un punto cuyas coordenadas son promedios ponderados de la correspondiente
funciones coordenadas definidas en el conjunto. De esta forma la coordenada x de un centroide de un subconjunto
D ⊆ 3 es el promedio ponderado de la función f : D → 3 dada por f x , y , z = x .
Definición 1.1 (Centroide de una curva). Sea C la curva plana suave dada por lasecuaciones x (t ) , y (t ) , t ∈ [a ,b ]. Se
define el centroide de la curva C como el punto de coordenadas x , y dadas por:
b
x
xd s
a
=
b
a
b
y
a
=
b
a
=
b
ds
yds
b
b
a
=
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
a
y (t )
b
ds
a
x (t )
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
a
Definición1.2 (Centroide de una región plana). Considere funciones f 1 , f 2 : [a ,b ] →
x ∈ [a ,b ] y la región plana dada por
R=
x,y ∈
2
continuas con f 1 (x ) ≤ f 2 (x ) para
: a ≤ x ≤ b y f 1 (x ) ≤ y ≤ f 2 (x )
se define el centroide de R como el punto x , y dado por
b
x=
a
b
a
MAT022 (Complemento)
xd A
dA
b
=
a
x f 2 (x ) − f 1 (x ) d x
b
a
f 2 (x...
Primer semestre de 2013
Semana 13: Lunes 17 de Junio – Viernes 21 de Junio
COMPLEMENTO Y CÁLCULO
Contenidos
• Clase 1 (Cálculo): Centroides y Teoremas de Pappus.
• Clase 2 (Complemento): Series alternadas, teorema de Leibnitz. Convergencia condicional
y absoluta.
• Clase 3 (Cálculo): Series de potencias: Radio e intervalo de convergencia.
•Clase 4 (Complemento): Derivación e integración de series de potencias.
CLASE 1
1.0.1
Centroides y Teoremas de Pappus
Antes de introducir el concepto de centroide de un objeto geométrico vamos recordar la noción de promedio de una
función. Dado un n ∈ y una función f : {1, 2, . . . , n } → el promedio de los valores de f en los puntos 1, 2, . . . , n es dado
por
f (1) + f (2) + · · · + f(n )
Prom f =
n
ejemplos simples muestran que el promedio no necesita ser ninguno de los valores que toma f . Considere ahora una
función f : → , ¿Cómo podemos definir el promedio de f ? una posible definición basada en una extensión de lo
anterior es
f (1) + f (2) + · · · + f (n )
Prom f = lim
n →∞
n
si tal límite existe.
Considere ahora el intervalo cerrado [a ,b ] en
f ? Supongamosque
y una función f : [a ,b ] → . ¿Cómo podemos definir el promedio de
= {x 0 , x 1 , . . . , x n }
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
es una partición de [a ,b ] y escogemos s i ∈ ]x i −1 , x i [ para i = 1, 2, . . . , n . Si f asume el valor f (s i ) en todo el intervalo
]x i −1 , x i [ entonces podríamos definir
=
f (s 1 ) (x 1 − x 0 ) + · · · f (sn ) (x n − x n−1 )
(x 1 − x 0 ) + · · · + (x n − x n −1 )
=
Prom f
1
b −a
n
f (s i ) (x i − x i −1 )
i =1
si f es integrable en [a ,b ] entonces cuando n → ∞ lo anterior nos conduce a
b
1
b −a
Prom f =
f (x ) d x
a
Los promedios ponderados aparecen cuando deseamos asignar más o menos importancia a algunos de los valores que
toma la función. Dado n ∈ y f : {1,2, . . . , n } → sea w (1) , w (2) , . . . , w (n ) numeros positivos tales que w (1)+w (2)+· · ·+
w (n ) = 0 si decidimos asignar los pesos w (1) , w (2) , . . . , w (n ) a los valores f (1) , f (2) , . . . , f (n ) respectivamente entonces
el promedio ponderado de f respecto a esos pesos es
w (1) f (1) + w (2) f (2) + · · · + w (n ) f (n )
w (1) + w (2) + · · · + w (n )
Prom f =
conesto en mente damos la siguiente definición. Una función integrable w : [a ,b ] →
b
negativa, W = a w (x ) d x = 0. Si f : [a ,b ] → es un afunción integrable y w : [a ,b ] →
promedio ponderado de f con respecto a w es definido por
b
a
Av f ; w =
w (x ) f (x ) d x
W
b
=
a
es llamada función peso si es no
es una función peso entonces el
w (x ) f (x ) d x
b
a
w (x ) d xUn centroide de un conjunto de puntos, es un punto cuyas coordenadas son promedios ponderados de la correspondiente
funciones coordenadas definidas en el conjunto. De esta forma la coordenada x de un centroide de un subconjunto
D ⊆ 3 es el promedio ponderado de la función f : D → 3 dada por f x , y , z = x .
Definición 1.1 (Centroide de una curva). Sea C la curva plana suave dada por lasecuaciones x (t ) , y (t ) , t ∈ [a ,b ]. Se
define el centroide de la curva C como el punto de coordenadas x , y dadas por:
b
x
xd s
a
=
b
a
b
y
a
=
b
a
=
b
ds
yds
b
b
a
=
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
a
y (t )
b
ds
a
x (t )
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
2
(x (t ))2 + y (t ) d t
a
Definición1.2 (Centroide de una región plana). Considere funciones f 1 , f 2 : [a ,b ] →
x ∈ [a ,b ] y la región plana dada por
R=
x,y ∈
2
continuas con f 1 (x ) ≤ f 2 (x ) para
: a ≤ x ≤ b y f 1 (x ) ≤ y ≤ f 2 (x )
se define el centroide de R como el punto x , y dado por
b
x=
a
b
a
MAT022 (Complemento)
xd A
dA
b
=
a
x f 2 (x ) − f 1 (x ) d x
b
a
f 2 (x...
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