mate 4
Páginas: 3 (532 palabras)
Publicado: 26 de diciembre de 2013
Resolución por eliminación mediante el operador diferencial D
En el capítulo anterior se definía el operador diferencial D como una aplicación de tal que siendo la familia de funciones reales devariable real infinitamente derivables en un intervalo (a.b)-
Dado el sistema:
Aplicando que D (y) = y’ se puede expresar:
O bien en forma matricial:
Sea el operadorQue se supone que no es la función nula. Es un operador polinomico de grado n.
Para todo k, 1 < k < n se resuelve la ecuación diferencial homogénea de grado n:
Una vez obtenidas cada una de lasfunciones yk(x) en función de n constante, se tiene en total n2 constantes que se eliminan hasta dejar solo n sustituyéndoles en el sistema.
Resolución buscando soluciones exponenciales
Método deEuler:
La funcion exponencial, y = eax verifica que sus derivadas son multiplos de si misma. Por lo tanto parece natural que sean de ese tipo las soluciones de un sistema lineal homogeneo concoeficientes constantes.
Se considera el sistema y’=A.y. Se busca una solucion de la forma
y(x)= se sustituye en el sistema:
Y se divide entre:
El resultado es un sistema algebraico linealhomogéneo en las variables B1, B2,……, Bn que solo tiene solución distinta de la trivial cuando el determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir:
Esta ecuación se denomina ecuacióncaracterística. Al desarrollar el determinante se obtiene una ecuación polinomica en de grado n, en la que el tipo de raíces de la ecuación determina la expresión de las soluciones.
CASO 1: la ecuacióncaracterística tiene todas las raíces reales y distintas.
Sean las raíces de la ecuación característica entonces para todo al sustituir por cada valor en el sistema se obtiene una solución, notrivial, del sistema algebraico que determina una solución del sistema de ecuaciones diferenciales:
De esta forma se obtienen n soluciones que, en este caso, son linealmente independientes y por lo...
En el capítulo anterior se definía el operador diferencial D como una aplicación de tal que siendo la familia de funciones reales devariable real infinitamente derivables en un intervalo (a.b)-
Dado el sistema:
Aplicando que D (y) = y’ se puede expresar:
O bien en forma matricial:
Sea el operadorQue se supone que no es la función nula. Es un operador polinomico de grado n.
Para todo k, 1 < k < n se resuelve la ecuación diferencial homogénea de grado n:
Una vez obtenidas cada una de lasfunciones yk(x) en función de n constante, se tiene en total n2 constantes que se eliminan hasta dejar solo n sustituyéndoles en el sistema.
Resolución buscando soluciones exponenciales
Método deEuler:
La funcion exponencial, y = eax verifica que sus derivadas son multiplos de si misma. Por lo tanto parece natural que sean de ese tipo las soluciones de un sistema lineal homogeneo concoeficientes constantes.
Se considera el sistema y’=A.y. Se busca una solucion de la forma
y(x)= se sustituye en el sistema:
Y se divide entre:
El resultado es un sistema algebraico linealhomogéneo en las variables B1, B2,……, Bn que solo tiene solución distinta de la trivial cuando el determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir:
Esta ecuación se denomina ecuacióncaracterística. Al desarrollar el determinante se obtiene una ecuación polinomica en de grado n, en la que el tipo de raíces de la ecuación determina la expresión de las soluciones.
CASO 1: la ecuacióncaracterística tiene todas las raíces reales y distintas.
Sean las raíces de la ecuación característica entonces para todo al sustituir por cada valor en el sistema se obtiene una solución, notrivial, del sistema algebraico que determina una solución del sistema de ecuaciones diferenciales:
De esta forma se obtienen n soluciones que, en este caso, son linealmente independientes y por lo...
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