Mate 5

SERIE DE FOURIER
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senosy cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de laingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño deun sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Definición.
Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Porla identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Ejemplos de series de Fourier
Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansión muy simplificada.

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒes diferenciable:

FUNCIÓN ORTOGONAL
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar  es nulo.
Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de que el conjunto de funciones haya sido dotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común deproducto escalar entre funciones es:
(1)
con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1). Véase también espacio de Hilbert para más detalles.
Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas puedenescribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:
(2)
Forman un espacio prehilbertiano bajo el prodcto vectorial definido por (1).

CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES.
Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1. Estadefinición sólo tiene sentido si los vectores pertencen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno, como sucede en los espacios euclídeos En donde el producto interno puede definirse en términos de distancias y proyecciones perpendiculares de vectores.
Se pueden dar varios ejemplos:
* En el espacio euclídeo tridimensional  el conjunto S = {e1, e2, e3} formado por los tresvectores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) y e3=(0,0,1) es un conjunto ortonormal.
* En espacios vectoriales más abstractos donde puedan definirse más de un producto interno, un conjunto podría ser ortonormal respecto al primer producto interno, pero no ser ortonormal respecto al segundo producto interno.

CONJUNTO ORTONORMAL: Si  es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y...